人口增长模型

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1、中国人口增长预测im摘要：人口问题是制约一个国家发展的重要因素，像中国这样的发展中国家，人口总 量持续增长，将会影响全面建设小康社会目标的实现。我国人口的特点如老龄化进程加 速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，都影响着中国人口的增长。本 论文的内容就是关于中国未来人口增长的预测问题。1 对问题一的人口增长的中短期发展趋势作出预测1.1 对问题一中的人口增长的短期（20 年内）发展趋势作出预测模型一 指数增长模型：仅考虑自然增长率，忽略其他因素（年龄结构、性别比例、 迁入与迁出等）的影响且每年人口的自然增长率r相同，建立指数增长模型，预测人口 增长的短期发展趋势。本模型以 2005

2、 年为参照年，得出 2025 年的人数是2005 年的约 1.3 倍。1.2 对问题一中的人口增长的中期（40年内）模型作出预测模型二 阻滞增长模型：考虑到自然环境所能容纳的最大人口数、资源的限制对人 口增长的影响（而不考虑其它因素的影响），人口的增长不可能一直按照指数增长，人 口增长到一定时间后会受到自然条件的阻滞作用，针对这种现象建立了阻滞增长模型， 用来预测人口增长的中期发展趋势。由于没有近几年各年的人口总数，因此，本模型没 有预测出具体的结果。2 对问题二的中国人口增长的长期（100年内）发展趋势作出预测模型三 微分方程模型：在长期的时间内，人口增长要受到很多因素的制约，我们 选择了五

3、个主要因素：出生率、死亡率、年龄结构、性别比例、区域差别。1）在考虑出生率时，根据题中附录 2 所给数据本文利用求和再平均的方法算出了 1994 年至2005市镇乡三个区域的男婴死亡平均值，并把此值作为长期预测的男婴死亡 率。利用此值可以求出相应得女婴死亡率。再利用死亡率和存活率的关系求出存活率， 进而可以求出出生率。2）在考虑死亡率时，由题中所给附录2 知老年人（65 岁以上）与非老年人（164 岁）的死亡率差别很大，所以我们把年龄段分为老年人和非老年人，这样可以使本模型 更精确，然后依据题中所给附录 2 中提供的数据分别拟和出他们的死亡率随时间的变化 曲线。3）在考虑年龄结构时，我们除了把

4、人分为老年人和非老年人外还把女性分为了育 龄期妇女和非育龄期妇女，这也提高了本模型的精确度。4）在考虑区域差别时，我们分别讨论市镇乡的出生率、死亡率、年龄结构、性别 比例，然后分别写出他们的人口数随时间变化的微分方程，再用 matlab 分别求出他们 的人口数的解析式，三个解析式相加即为全国的总人口数随时间的变化。本模型的出的100年后中国的人口比2005年增加了约84亿。3 由于在上面三个模型的讨论中，都没有考虑迁入、迁出和计划生育强度对出生率的影 响，因此，在改进方法中，把这些因素加入了进去，仍然是利用微分方程模型，但是， 我们并没有具体去解。关键词：中国人口增长指数增长 阻滞增长模型插值

5、拟合 微分方程一 问题的提出与分析1 问题的提出人口问题是一个大问题，关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量的数 据资料。本模型通过对附录 1 中所给中国人口特点现状的分析和附录 2 中提供的数据建 立中国人口增长的数学模型，并因此对中国人口增长的中短期和长期发展趋势作出分析 和预测。2 问题的分析2.1 本论文建立模型的思路如下2.1.1 对中国人口增长的短期（20 年内）发展趋势作出预测模型一：由于短时间内人口变动不大，因此忽略了人口的迁入、迁出、年龄结构和 性别比例等因素对人口增长的影响，认为人口按一个固定的比例 r 随时间增长，并以 2005 年为参照年建立指数增长模型。本模型

6、以 2005 年作为开始来预测以后各年的人口数量，并把 2005 年的人口自然增 长率作为以后各年的人口自然增长率。由于没有 2005 年的人口自然增长率，就上网查 了一些资料，得出2005年的人口自然增长率为5.89%。，则预测短期的几年里每年的人 口自然增长率都为5.89%（2005人口自然增长率）。又由于没有2005年的人口总数因 此在本模型中把 2005 年的人口总数设为 1，因此，以后各年的人口数都是2005 年的倍 数。从而建立了人口增长的指数增长模型，预测出短期内各年的人口总数量（见图 1）。2.1.2 对中国人口增长的中期（40 年内）发展趋势作出预测模型二：由于受到资源条件的

7、制约、环境所能容纳的最大人口数等方面的影响，人 口不可能一直按照指数规律增长下去，人口数增加到一定数量后，增长速度必然会有所 下降，而且最后还会在某个时间达到最大人口数，此时人口数量已经达到了自然资源所 能承受的最大限度。根据这些问题建立了阻滞增长模型来预测中期的人口增长。2.1.3 对中国人口增长的长期（100 年内）发展趋势作出预测问题一中的模型过于理想化，因此只适合作短期的预测。模型二中虽然考虑到了自 然条件等对人口增长的影响，但是，由于它是以总的人口数为整体来考虑的，并没有考 虑到年龄结构、性别比例等因素对人口增长的影响，因此，用它来作中期的的预测是足 够的，但如果用它来作长期的预测是

8、不可能的。针对上述情况，考虑到出生率、死亡率、 年龄结构、性别比例和区域差异方面对人口增长的影响，我们建立了微分方程模型队人 口增长的长期发展趋势作出预测。考虑到年龄结构、性别比例等因素对人口增长的影响，本模型用插值拟和的方法拟 和出了人口增长在各中因素影响下的曲线，最后，利用微分方程求出人口数量随时间的 变化量。前两个模型是以全国人口为对象来研究的，而这个模型分别以市、镇、乡作为 研究对象，分别求出它们的人口数随时间的变化量，最后，再把市、镇、乡的人口数随 时间的变化量加起来即得到全国人口数随时间的变化量。2.2 需要解决的问题考虑到模型的复杂性，我们忽略了迁入和迁出对人口增长的影响，但这也

9、造成了模 型的不准确，因为市、镇、乡的年龄结构、性别比例等会随着迁入和迁出而改变。又由 于不知道国家的计划生育的强度随时间的变化，同时也为了模型的简单我们忽略了计划 生育强度对出生率的影响。二 模型的假设1 附录2 中的人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）真实、可靠；2 预测全国人口增长时，短期、中期、长期的年限分别为 20 年、40 年、100 年；3 模型一中，由于是对中国人口增长的短期内做出预测，因此，忽略任何可能的因素的影响。4 所用时间都以年为计量单位；5 模型一中，假定 2005 年全国人口总数为单位 1 ；6 假设 2005 年为第 0 年， 2005 年的人口与本年比较，记

10、增加人口数为 0 ，以后依次类 推；7 模型三中，假设影响中国人口增长的因素为：出生率与死亡率、年龄结构、性别比例、 区域差别，忽略其他因素对人口增长的影响；8 模型三中，在考虑死亡率方面，0 岁为刚出生的人；年龄在 1 64 之间的为非老年人，65 岁以上的为老年人9 模型三中，在考虑出生率方面，设定年龄在 15 49 岁之间的妇女为育龄妇女；10 模型三中，育龄妇女每次所生孩子个数为 1；11 模型三中，怀孕妇女在其怀孕期间，死亡率为零；12 模型二中，假设影响中国人口增长的因素为自然资源的限制和环境所能容纳的最大 人口数。说明：模型假设中没有指明在那个模型中的，一律认为是针对所有的模型。

11、三 符号说明y(t)：表示市人口年增长率，y：(t)：表示镇人口的年增长率， y (t)：表示乡人口年增长，3n(t)：表示市妇女年怀孕率； n(t)：表示镇妇女年怀孕率；2n (t)：表示乡妇女年怀孕率；3b ： 表示市育龄妇女的年生男率； b ： 表示镇育龄妇女的年生男率 b ： 表示乡育龄妇女的年生男率；3s/t)：表示市0岁男孩年死亡率， sit)：表示镇0岁男孩年死亡率，2s (t)：表示乡0岁男孩年死亡率，3p(t) ：表示市非老年人年死亡率， p(t) ：表示镇非老年人年死亡率，2p(t) ：表示乡非老年人年死亡率，h(t)：表示t时刻市人口增长数; h：(t )：表示t时刻镇人

12、口增长数; h(t )：表示t时刻镇人口增长数;3g ：表示市育龄妇女的年生女率； g ：表示镇育龄妇女的年生女率； g ：表示乡育龄妇女的年生女率；3m/t)：表示市0岁女孩年死亡率;mlt)：表示镇0岁女孩年死亡率;2m(t)：表示乡0岁女孩年死亡率;3q/t)：表示市老年人年死亡率；q(t)：表示镇老年人年死亡率；2q (t)：表示乡老年人年死亡率；四 模型的建立与求解x : 表示 2005 年全国人口总数；x(t)： 表示 t 时刻全国人口总数；x(t)：表示2005年后第t年人口增长总量;r：表示模型一中的年增长率；r(x):表示人口数量为x时，人口的增长率;r：0 x：表示人口很少

13、时的增长率，即固有增长率；表示人口容量，即自然环境和环境条件所能容纳的最大人口数量t：表示为2005后第t年，取值为1, 2, 31 中短期人口预测模型1.1 模型一 指数增长模型设t时刻的人口总数为x(t),当考察一个国家或一个较大地区的人口是，x(t)是个很大的整数。为了利用微积分这个数学工具，将x(t)视为连续的，可微函数。计初始 时刻(t=0)的人口为x，假设人口增长率为常数r即单位时间内x(t)的增量等于r 乘以x(t),考虑t到t+At时间内人口增长的数量，显然有：x(t+At) -x( t)二rx( t)At(1)令At-0,得到x(t)满足微分方程dx=rx，x(0)=x(2)

14、dt 0由这个方程可以解出x(t)=xert0( 3 )r0时上述式子表示人口将按指数规律随时间无限增长，参数r的取值为2005年人口自然增长率为5.89%。(见参考文献5)，则取r=5.89%； X 的取值： x 为 2005 年的全国总人口数，而假设中我们设定2005 年的全国人口总数为 单位1 ，则在中短期内每年的人口数都与2 0 0 5年的进行比较。利用 Matlab 绘图，得出指数增长模型的图形如下：1.15-5E-1.1* -*1.05* IIIIIIIII02468101：宣 141618 、如图1年人口增长曲线由上图可知：在其后的 20年内，全国人口的总数量变化不是很大， 20

15、年后的人口才是 2005 年的 1.3 倍左右。1.2 模型二 阻滞增长模型阻滞作用主要体现在对人口增长率r的影响上，使得r随人口数量x的增加而下降, 若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数，于是模型一中的方程(2)写作：竺=r (x) x dtx()二 xo4)对r(x)的一个简单的设定是，设r(x)为x的线性函数，即r (x)二 ro - sx(r，s0)5)当x=x时人口数量不再增长，即增长率r（x）=O,代入（5）式得s= -V ,于是（5）m m xm式为：r（x）二 r （1）0xm（6）式的另一种解释是，增长率r（x）与人口尚未实现部分的比例（x -x） /m 比例系数为固有增长率将（ 6）代入方程dx _dtx 成正比，mr0(4)得：r x (1 ),0xmx(0) = x07）方程（7）式右端的因子rx体现了人口自身的增长趋势，因子（1-上）则体现了资源和 0x m 环境