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1、1、 设随机过程X(t) = R -1 + C, t e (0,g), C为常数，R服从0,1区间上的均匀分布。(1) 求X(t)的一维概率密度和一维分布函数；(2) 求 X(t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设W (t), -g t 是参数为b 2的维纳过程，R N (1,4)是正态分布随机变量； 且对任意的一8t g，W(t)与R均独立。令X(t)二W(t) + R，求随机过程&(t)，-g t g的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即九二180 ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内(8个小时)商场
2、营业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.30.70、P=00.20.8、0.700.3丿(1) 求两步转移概率矩阵P及当初始分布为P X = 1二 1, P X = 2二 P X = 3二 00 0 0时，经两步转移后处于状态2的概率。(2) 求马尔可夫链的平稳分布。5 设马尔可夫链的状态空间 I = 1,2,3,4,5，转移概率矩阵为0.30.40.300、0.60.4000P=010000000.30.7 0是参数为九的泊松过程，计算En(t)N(t + s)o7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以N记在i第层进入电梯的人数。假定N相互独立,ii且N是均值为九的泊松变量
3、。在第i层进入的各个人相互独立地以概率p在第j层离开电 iiij梯，E p = 1。令O =在第j层离开电梯的人数。ijj1)计算 E(O )j2) O 的分布是什么 j3)O 与 O 的联合分布是什么 jk8、一质点在1, 2, 3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在t,t + h)内,它都以概率h + o(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率 p (t) 及平稳分布。ij1 有随机过程E(t),-gtg和q(t),atg，设g(t)=A sin( t+0), n(t)=B sin( t+B+Q), 其中A, B,，为实常数，冋均匀分布
4、于0, 2冗,试求R#s,t)2(15分)随机过程(t)=Acos(t+O)，-t 0是独立增量过程，且X(0)=0,证明X(t),t0是一个马尔科夫过程。6设N(t),t o是强度为九的泊松过程，(Y ,k=1,2, 是一列独立同分布随机变量，且 k与N(t),t 0独立，令 X(t)=晋Y,t 0，证明：若 E(Y2S，则 E X(t) = tEY k117.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为d ,而今天无雨明天有雨的概率为0;规定有雨天气为状态0无雨天气为状态1。设d = 0.7,卩=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 设 EC
5、),-8 t +是平稳过程，令 )=(t)cos(t +-8 t +8，其中 0 是常数，为均匀分布在0,2冗上的随机变量，且EC)，- 8 t +/与相互独立，Rq和Sg)分别是C), g t +的相关函数与功率谱密度，试证:(1)8t 是平稳过程，且相关函数：R 6)二 1R C)n 2 E0(2)8 t +的功率谱密度为：S 6)= 11 6一 )+ S 6+ )n 4 o o9已知随机过程(t)的相关函数为：r “ )=e 72，问该随机过程鼻)是否均方连续？是否均方可微?1、设随机过程X(t) = R -1 + C，t e (0,8)，C为常数，R服从0,1区间上的均匀分布。(1)
6、求 X(t) 的一维概率密度和一维分布函数;(2) 求 X(t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】(1) F(x)= Jxf (t)dt，则 f (t)为密度函数;81(2) X(t)为(a,b)上的均匀分布，概率密度函数f (x) = b a,axb，分布函数0,其他D (x) =(b 一 a)20, x a” 、 x a1F (x) = S, a x b(3) 参数为九的指数分布，概率密度函数f( x)=r打,x:0，分布函数I 0, x 00, x 0D(x)詁1_ (x-H)2(4)E(x)二卩,D (x) =o2的正态分布，概率密度函数f (x) =. e- 2小，s
7、x 5 ,o珂2兀1 - (t 卩)2分布函数F(x) =Jxe- 202 dt,-g xg，若卩=0, = 1时，其为标准正态分布。oj 2兀-8解答】本题可参加课本习题2.1 及2.2题。t,C x C +t，一维分布 0,其他(1) 因R为0,1上的均匀分布，C为常数，故X(t)亦为均匀分布。由R的取值范围可知,X(t)为C, C +t上的均匀分布，因此其一维概率密度/(x)= 0, x C函数F (x)= C, C X C +1(2)根据相关定义，均值函数m (t) = EX(t) = ； + C ；X21C相关函数R(s，t) = EX(s)X(t) = st + (s +t) +
8、C2 ；X 3 2st协方差函数BX(s，t) = EX(s)-mX(s)X-mX(t) = n (当s=t时为方差函数)【注】D(X) = E(X2)-E2(X)； B (s,t) = R (s,t)-m (s)m (t)XXXX求概率密度的通解公式f (x) = f (y) I y(x) 1= f (y)/1 x(y) It2、设W(t),-8 t s是参数为o 2的维纳过程，R N(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的-8t8， W(t)与R均独立。令X(t) = W(t) + R，求随机过程& (t), - 8 t 0.56 0.040.56、0.4 =(0.09 0.350.56
9、)1)两步转移概率矩阵0.30.70、0.30.70、0.090.350.56、P (2) = PP =00.20.800.20.8=0.560.040.4、0.700.3丿、0.700.3丿、0.420.490.09丿当初始分布为P X = 1 =1，PX0 =2=PX0 =3=0时(0.42 0.49 0.09丿故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组兀=0.3 兀 + 0K + 0.7兀1123兀=0.7兀 + 0.2 兀 + 0k2123k = 0k + 0.8 兀 + 0.3 兀3123k +k +k =1
10、123解上述方程组得平稳分布为878k = , k = , k =i 232233235、设马尔可夫链的状态空间I二1,2,3,4,5，转移概率矩阵为:0.30.40.300、0.60.4000P =010000000.30.7 00010丿求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例4.13 题和 4.16 题画出状态转移图如下（1）由上图可知，状态分类为G二1,2,3;G二4,512（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平 均返回时间。A、对G 常返闭集而言，解方程组兀=0.3 兀 + 0.6兀 + 0H兀=0.4兀+ 0.4兀+
