第三章稳健估计

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1、第三章稳健估计第一节模型误差与稳健估计一、模型误差实际模型与所建模型之差称为模型误差。模型误差分为随机误差、系统误差和粗差。二、稳健估计的概念及任务1概念所谓稳健估计，是在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使所估参数尽可能 减免粗差的影响，得出正常模式下最佳或接近最佳的估值。2目标(1) 在采用假定模型下，所估计的参数应具有最优或接近最优性；(2) 如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的估计参数所受影响也较小;(3) 即使实际模型与假定模型有较大的偏差，其参数估值的性能也不应太差，亦即不至于对估值产生灾难性的后果。第二节稳健估计原理一、影响函数影响函数是用来判断估计统计量对异常

2、值敏感程度的指标,反映了在不同位置上异常数 据对估值所造成的相对影响的大小。影响函数的定义式为：” 八、7祯-)尸+必(79)IF (l, F ,0) = lin8T0其中F为正常观测值的分布函数，、为异常观测值引起的阶跃分布函数。当以一个小的概率出现的异常值的分布函数成为F:F = (1 -8) F + 8A(80)因此估计统计量0(F8) =0(1-)F +气与正常观测值下的估计函数0 (F)之差，描述了异常值对估计函数的影响，这就是影响函数的实现含义。在实用中可剔除一组含粗差数据s后，由其余(n-s)个数据得到的估值。(F)与全部数据获得估值 一I之差求出s个数对估值e的影响函数IF(/

3、, F,6) = (F)一。(F)(81)该式刻画了剔除的数据对估值的影响大小或敏感程度。因此，影响函数可用来刻划各种稳健估计方法而且作为其稳定性的度量。二、广义极大似然估计(M估计)设有参数向量X,是未知的非随机量，为了估计X,进行n次观测，得到了观测向量L的观 测值I,由极大似然估计有： ln f (l , x) = max(82)i i=1或 - In f (l , X) = min(83)i i = 1其中惺随机量L的密度函数如果用p (li，x)代替函数-InfqX),使一其定义广义化，于是可得： p (l , X) = min(84)i i=1或w (l , X) = 0(85)i

4、 i=1 式中8p (l ,x) W (l., x) = x_有(85),(86)出发,对参数x进行估计，就是极大似然估计，简称M估计.直接给出M估计的影响函数IF (l ,W, F) =W (l,X(F) (86)-j (d / dx)W (L, x)d (L*)X (F) 式中F为分布函数,L*为异常观测值.三、顺序统计量线性组合估计(L估计)设1_(11，12，1)为相互独立具有同一分布F的随机变量，把1(=1,2,，n)按其大小顺序排列得：(n )-1(2)其中、为新排列得顺序观测值。弟计正是上述顺序统计量的线性组合X = Y c h(1. )(87)=1式中c为权系数，一般取值区间为

5、(0,1) i四、秩检验型估计(R估计)首先两个三子样定位参数的秩检验。设1 , 1 ,1和1,1,1为两他个相互 12 n 12 m独立的子样，他们的分布分别为尸(1), G (1。= F (/-), 为未如的参数平移量。现将两个子样组合成一个容量为(n + m)的字样，并令为在组合子样的秩。于是可构造一个统计量1 11s =_咒 a (R )(88).=1以检验确定两子样间是否存在差异，即取原假设为A = 0,备选假设小0在(88)中，a(Ri)为权，可由J函数确定：(i a (R ) = JI -+1 I(89)或.1.-a (R.)=J(-)(90)根据Hogg的R估计定义，要求参数X

6、的R估计应使Sn m接去近于零，且(a X -1 )R = min (91)i i ii=1秩Ri是x的函数。第三节、选权迭代法 一、选权迭代法的基本思想由M估计式：2 p(v)=mini i=1对未知数x求一阶导数，并令其为零得：2 Q(v )CESvP(v)M = 0(92)dxi dxi = 1考虑到：V = Axe,或v. = ax l有：2pf(v )a. = 0,或a P-v = 0(93)i=1i=1i令p (v ) = M2，则(93)变为：i i viEa tp (v )v = 0(94)i=1把巧弋入得：2 a t p (v )(a X l ) = 0(95)i=1上式与最

7、小二乘估计得法方程形式完全一致，仅是用权函数矩阵P (V) = diag (p1 (v ,), , pn (v i)代替观测权阵。为此，可将稳健估计的选权迭代法归结为如下模型：误差方程与权函数为V = AX lP(V)估计准则为：VTP(V )V = min亦即将平差模型转换为最小二乘估计的模型，采用类似最小二乘估计程序计算， 所不同的是权函数P(V)是残差的函数，计算前是未知的，只能通过给其赋予一 定的初值，采用迭代法估计参数土二、计算程序计算程序为：1. 列立误差方程，令观测权函数初值为1。2. 解算法方程(95)，得出x和v的第一次估值。3. 由v确定各观测权函数，再解算法方程，类似迭代

8、计算，直至前后两次解的差符合限差要求为止。4. 得到最后结果。第四节一次范数最小估计的线性规划法一、线性规划的基本概念线性规划的数学模型为：目标函数：f(X)二CtX二min约束条件：AX=b(96)XN0在数学模型中，变量X为(nXI)向量，6是目标函数系数(nXI)向量，b是约束条 件(mX1)常数向量危为参数的mXn系数矩阵。n称为线性规划的维数，m称为线性规划 的阶数。对于具体问题，应用上述数学模型可作如下考虑：(1) 、若要求目标函数f(X)=max,只需将其进行转换，求函数-f(X )的最小值，所求参 数不变。(2) 、当第i个约束条件为：a x+a x+a x Nb或(Wb )可

9、以引入松弛变量xi1 1 i2 2in n iin+iN0,使不等式成为：a x +a x +a x x =bi1 1 i2 2in n n+i i(3) 、若某些变量x可正可负，一般可引进变量x=x-x要求x，x，N0。jj j jJ j在线性规划中，通常称满足约束条件Ax=b和xN0的解为可行解，所有可行解组成的集 合称为可行解集，或称可行域。在一般线性规划问题中，m n,约束条件AX=b有无穷多个解，如任取其中(n-m)个参数 令其为零，可解出其余m个不全为零的一组参数，由此得到的解X=x1,x2，,七0,0丁称 为X的基本解，而满足非负条件xN0的基本解，又是可行解，称为基本可行解。基

10、本可行 解全体组成的点集称为基本可行解系，其中大于零的分量称为基本变量，其余为非基本变量。二、单纯形法单纯形法的基本思想是：根据线性规划的数学模型，从方程AX=b的基本可行解开始, 在它所有相邻的可行解中选择使目标函数有较大下降的可行解代替原来的解，这是一次迭 代，经过有限次迭代，当目标函数达到极小值时，便得到最优解。首先求线性规划的基本可行解，在约束条件AX = b X 0 (97)mn n1 ml中n)m,R(A) = m。设q ,a，,a为A的各列向量，从中可选出m个线无关12n的列向量，组成B = (a ,a，,a ),mmm令其余列向量组成N =(a ,a，,a )m (n-m)m

11、+ m +n则有：A=(BN),为检验基本可行解是否最优解，对应约束条件，设目标函数系数为:C = (CC ) T则(96)式可写成Nf (x)=七=CBXB + CNXNBX + NX = B |(101)X 0 X Z 0将(99)代入上式的目标函数可得：Z = C B -ib - C B-1 NX + C X=C B-ib + (C C B-iN)X=Z0 +(Cn -CB-1N)Xn(102)当乂. =0时，基本可行解:B -1b0X - X = B =XN对应的目标函数为：Z = Z = C B-1b(103)由(102)式，因为X是可行解，故必有Xn 0,如果式中:C C B -1

12、N 0则必有Z 0 X 0 V + 0 V 0 化为线性规划标准形式：Z = V + + V = min、AX + AX V + + V = l| (105)X + 0 X 0 V + 0 V 0 满足上式的解即为最优可行解。解(96)式的计算步骤为:(1)选择初始人=(BN), C = (CBCn ) t，求出初始基本可行解1XB N7 计算,=Cn CBBtN，基变量的,=0,若, 0,则已得到最优解，停止计算 否则转入下一步。1(3) 在所有.V0中，找出绝对值最大的负系数所对应的非基变量加入基变量，用X表示(4) 为保持解的可行性，用X前的系数1除对应的常数b，即b la (j = 1

13、,2,m)jlj j jl,取其中最小值，记为七/a，即存在：b ,b b b 、= mm(, , . . ., )七ail a 2lamlb对应的基变Mx，换为非基变量，亦即用乂,换出x.kl(5) 进行基变换，组成新基，按消元法计算各元素的系数：a = a / a ,a = a - kaki ai kl ji ji a jlklbb = b /a , b = b -ak k kl j j a jlkl(6) 求出新的基本可行解，重复直至, 0。第五节等价权原理一、等价权定义设有独立观测值l,l,.,l，相应的观测权为p,p，p。最小二乘估计的准则为:12 n12 n(106) p v 2 = min i ii=1对于稳健估计，相应的准则为：(107)p p (v ) = miniii=1或:p，i=1设。为A中第i个行向量，则有：i p p，G )2 = 0i i ii=1或aTp P vv = 0(108)i i v i令 P = P P = P P G)(109)i i vi i i则(108)式为：ap v = 0i=1此即误差方程及其权阵= diag(pp2,p )八，一一、V = AJf -1P(110)所对应的法方程. 八._AtPAJC = AtPI(111)在