《高考数学专题讲义:解析几何专题1: 圆锥曲线的定义、性质、方程》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学专题讲义:解析几何专题1: 圆锥曲线的定义、性质、方程(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第十六讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(一)高考在考什么【考题回放】1已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与抛物线的准线(B)A相交 B相切 C相离 D与p的取值有关2(江苏理)在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则它的离心率为 ( A )A B C D3点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点,且P到渐近线距离为,则a+b=(B )A、-B、C、-2D、2 4(湖南)设F1 、F2分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( D )A B C D5(湖
2、北理)双曲线的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1 、F2;抛物线C2的准线为l,焦点为F2;C1与C2的一个交点为M,则等于 ( A )A BC D6(全国一)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是( C)A4 B C D87(福建理)以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆方程是 ( A )Ax2+y2-10x+9=0Bx2+y2-10x+16=0 Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+10x+9=08(辽宁)设椭圆上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足,则2高考要考什
3、么【热点透析】一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即P| |PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆:(ab0)或(ab0)(其中,a2=b2+c2) 2.双曲线:(a0, b0)或(a0, b0)(其中,c
4、2=a2+b2)3.抛物线:y2=2px(p0),x2=2py(p0)三、圆锥曲线的性质 知识要点:1.椭圆:(ab0) (1)范围:|x|a,|y|b (2)顶点:(a,0),(0,b) (3)焦点:(c,0) (4)离心率:e=(0,1) (5)准线:2.双曲线:(a0, b0) (1)范围:|x|a, yR (2)顶点:(a,0) (3)焦点:(c,0) (4)离心率:(1,+) (5)准线:(6)渐近线:3.抛物线:y2=2px(p0) (1)范围:x0, yR (2)顶点:(0,0) (3)焦点:(,0)(4)离心率:e=1 (5)准线:x=-主要题型:(1)定义及简单几何性质的灵活
5、运用;(2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)。突破重难点【例1】若F1、F2为双曲线的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足:,则该双曲线的离心率为( )ABCD3解:由知四边形F1OMP是平行四边形,又知OP平分F1OM,即F1OMP是菱形,设|OF1|=c,则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a, |PF2|=2a+c,由双曲线的第二定义知,且e1,e=2,故选C.【例2】(上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回
6、的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)设曲线方程为, 由题意可知,. . 曲线方程为. (2)设变轨点为,根据题意可知得 ,或(不合题意,舍去). . 得 或(不合题意,舍去). 点的坐标为,.答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出指令. 图1【例3】如图1,已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,且,。(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;(2)如果椭圆上两
7、点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,是否总存在实数l使?请给出证明。解:(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系,则A(2,0),椭圆方程可设为。而O为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB|又,所以ACBC又,所以|OC|AC|,所以AOC为等腰直角三角形,所以点C坐标为(1,1)。将(1,1)代入椭圆方程得,则椭圆方程为。(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,设直线CP的斜率为k,则直线CQ的斜率为k,直线CP的方程为y-1=k(x-1),直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立,消去y得 (1+3k2
8、)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因为C(1,1)在椭圆上,所以x1是方程的一个根,于是 同理这样, 又B(1,1),所以,即kAB=kPQ。所以PQAB,存在实数l使。【例4】如图,直线l1和l2相交于点M,l1 l2,点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6建立适当的坐标系,求曲线C的方程解法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛线段的一段,其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2px (p0
9、),(xAxxB,y0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|所以 M (,0),N (,0) 由 |AM|=,|AN|=3得(xA)22PxA=17, (xA)22PxA=9 由、两式联立解得xA=,再将其代入式并由p0解得或因为AMN是锐角三角形,所以xA,故舍去 P=4,xA=1由点B在曲线段C上,得xB=|BN|=4综上得曲线段C的方程为y2=8x (1x4,y0)解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点作AEl1,ADl2,BFl2,垂足分别为E、D、F设 A (xA,yA)、B (xB,yB)、N (xN,0)依题意有xA=|ME|=|DA|=|
10、AN|=3,yA=|DM|=2,由于AMN为锐角三角形,故有xN=|AE|+|EN|=4=|ME|+=4XB=|BF|=|BN|=6 设点P (x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合(x,y)|(xxN)2+y2=x2,xAxxB,y0 故曲线段C的方程y2=8(x2)(3x6,y0) 第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,向量与是共线向量。(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点, F1、F2分别是左、右焦点,求F1QF2的取值范围;解:(1),。是共线向量,b=c,故
11、。(2)设当且仅当时,cos=0,。【例6】设P是双曲线右支上任一点. (1)过点P分别作两渐近线的垂线,垂足分别为E,F,求的值; (2)过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点,且的面积.解:(I)设两渐近线方程为由点到直线的距离公式得 (II)设两渐近线的夹角为,【例7】如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点求双曲线的离心率解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CDy轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称 依题意,记A(c,0),C(,
12、h),B(c,0),其中c为双曲线的半焦距,c=|AB|,h是梯形的高由定比分点坐标公式,得点E的坐标为, 设双曲线的方程为,则离心率由点C、E在双曲线上,得 由式得代入式得所以,离心率 【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标解:(I)由题意设椭圆的标准方程为,由已知得:,椭圆的标准方程为()设,联立 得,又,因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,即, ,解得:,且均满足
13、,当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;当时,的方程为,直线过定点所以,直线过定点,定点坐标为自我提升1.已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是(C )(A)2 (B)6 (C)4 (D)122如果双曲线的两个焦点分别为、,一条渐近线方程为,那么它的两条准线间的距离是( C )A B C D 3抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 04双曲线的虚轴长为4,离心率,F1、F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A).A、 B、 C、 D、85已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(2,0)