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1、初等代数研究练习题一、填空题1已知三次多项式 f(x)在x=-1,0,1,2时函数值分别为1,2,3,2,则f(x)=。322、多项式 x x 2x 2表示成(x-1 )的幕的多项式的形式为 3、 已知Iog35 二a,log57 二b,贝Hog63105 二。cot日tan日4、=cot 日-cot 3日tan 日-tan3日5、六本不同的书，按下列条件分配，各有多少种不同的分法(1 )分给甲乙丙三人，每人2本，则有种分法。(2)分成三份，每份 2本，则有 种分法。6、 线性规划问题中决策变量应满足的条件称为 .7、 将线性规划问题的一般形式化为标准形式时，若第r个约束条件为ar1x1 +
2、+arnxn兰br，则引入变量xn韦王08、 使目标函数达到 的可行解称为最优解。9、 若原线性规划中有 n个变量，则其对偶规划中一定有 个方程。10、用单纯形法解线性规划问题时，若检验数有负，则要进行 。二、计算题3小2cos：1、设得值=2,求 sinsin a +cos1 32、 计算 cos-arccot()的值。2 43、 解方程x2 +3x 4 =|2x 1 14、 设正方形 ABCD的边长为1, P、Q分别为边AB、AD上的一点，如图，若 APQ的周长为2,求/PCQ。5、设正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为a,试求B到平面AB Q的距离。6、用单纯性法解线性规划问题ma
3、xS=80x1+45 x220X1+5X2 兰40015x1+10 x450严沁x0AFEC BF三、证明题1、在厶ABC中，D为BC的中点，过D作一直线分别与 AC、AB的延长线交于 E、F。求证:2、正方形ABCD中E是CD的中点，F是DA的中点，连接BF、CF,它们相交于 P,如图所示，求证:AP=ABx, y R，均满足 f(x+y)=f(x)+f(y)3、设f(x)是以R为定义域的函数，且对任意的求证：(1)f(0)=0;f(-x)=-f(x)(2) 当 m Z时，f (mx) = mf (x)(3) 当 r Q时，f (rx) = rf (x)四、简答1、将线性规划问题化为标准形式
4、min S = 2x3x2 x3广片 _x2 +2x3 Z82X! +x2 3x3 乞 20 1时，方程为2X 3x-4=2x2,即 x 5x-6 = 0解得X1 _2，X2 所以x=1(2)2n 1 时，方程为 x 5x -6 = 0 解得 - -6，x2 =1此时方程无解(3)1-4 二 x时,22方程为x X - 4 =0解得(4)x恵-4寸,方程为2X 5x -4 = 0解得一5- 41所以综上知，方程的解为-5 - 2时，对m用数学归纳法证明 f(mx)=mf(x) k=2 时，f(2x)=f(x+x)=2f(x)假设，f(mx)=mf(x)则 f(m+1)x=f(mx+x)=mf(
5、x)+f(x)=(m+1)f(x) 所以 m2 时，f(mx)=mf(x) 所以 m0 时，f(mx)=mf(x)mW -1 时，设 m=-n， n N则 f(mx)=f(-nx)=-f(nx)=-nf(x)=mf(x) 综上，m Z 时，f(mx)=mf(x)(3)可设m亠口r，其中 m,n Z，且 n 0n于是mnf ( x) = f (mx) = mf (x) nmmf ( x)f (x)nn所以f (rx) = rf (x), r Q1、解：令 S=-S，四、简答题x4 兰0， x5 兰0， x3= x 3-x 3， x 3， x 30于是 maxS= 2 X1+3 X2 -( x 3
6、 - x 3)X1 - X? +2( X 3 - X 3 )- X4=8+ X5 =20=22X1+ X2-3( x 3- X 3)IIIX1- X2 -2( X 3 - X 3)己1 ,X2 , X 3 , X 3 ,X4 ,X5 兰02、解：令 A= P1P2P3-1 1-1 3丿由于R、B, P2、P3线性无关，所以只有两个基矩阵B1 = P1 ,F2=仁3B2= P ,卩3】=(-1 1L13丿对B1来说，x1, x3是基变量，x2是非基变量令X2 =0得约束方程的解X1=2X3=2a于是得基本解X=0 ,乙它是基本可行解。对B2来说，x2, x3是其基变量，x1是非基变量令X1=0得约束方程的解X2 =-2X3=2于是得基本解x(2)因为-20，所以它不是基本可行解
