《2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题: 1已知x,y为整数,且满足() ()(),则xy的可能的值有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2已知非负实数x,y,z满足xyz1,则t2xyyz2xz的最大值为( )A B C D3在ABC中,ABAC,D为BC的中点,BEAC于E,交AD于P,已知BP3,PE1,则AE( )A B C D 46张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( )A B C D5设t表示不超过实数t的最大整数,令ttt.已知实数x满足x318,则x( )A
2、B3 C(3) D16在ABC中,C90,A60,AC1,D在BC上,E在AB上,使得ADE为等腰直角三角形, ADE90 ,则BE的长为( )A42 B2 C(1) D1二、填空题: 1已知实数a,b,c满足abc1,1,则abc_2使得不等式对唯一的整数k成立的最大正整数n为_3已知P为等腰ABC内一点,ABBC,BPC108,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为ABE的内心,则PAC_4已知正整数a,b,c满足: 1abc,abc111,b2ac,则b_第一试 参考答案一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A二、填空题 1. 0 2. 144 3. 48 4.
3、 36第二试 (A)一、 设实数满足,求的值二、如图,在ABCD中, D为对角线BD上一点,且满足ECDACB, AC的延长线与ABD的外接圆交于点F. 证明:DFEAFB三、设n是整数,如果存在整数x,y,z满足nx3y3z33xyz,则称n具有性质P. 在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质P?并说明理由.第二试 (A)答案一、解 由已知条件可得,.设,则有,联立解得或.若,即,则是一元二次方程的两根,但这个方程的判别式,没有实数根; 若,即,则是一元二次方程的两根,这个方程的判别式,它有实数根.所以. 二、证明 由是平行四边形及已知条件知.又A、B、F
4、、 D四点共圆,所以,所以,所以.又,所以,故. 三、解 取,可得,所以1具有性质P.取,可得,所以5具有性质P. 为了一般地判断哪些数具有性质P,记,则.即 不妨设,如果,即,则有;如果,即,则有;如果,即,则有;由此可知,形如或或(为整数)的数都具有性质P.因此,1,5和2014都具有性质P. 若2013具有性质P,则存在整数使得.注意到,从而可得,故,于是有,即,但201392236,矛盾,所以2013不具有性质P.第二试 (B)试题及答案一同(A)卷第一题.二如图,已知为的外心,为的外接圆上一点,过点作直线的垂线,垂足为.若,求.解 延长交于点,延长交于点,由题意得,所以为的平分线.又
5、点在的半径上,点、在上,所以点、关于直线对称,.延长交于点,因为为圆心,所以点、关于直线对称,.因此. 又,所以,所以,. 因此, ,即,所以. 三设n是整数,如果存在整数x,y,z满足nx3y3z33xyz,则称n具有性质P.(1)试判断1,2,3是否具有性质P;(2)在1,2,3,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质的数有多少个?解 取,可得,所以1具有性质P;取,可得,所以2具有性质P; 若3具有性质P,则存在整数使得,从而可得,故,于是有,即,这是不可能的,所以3不具有性质P. (2)记,则.即 不妨设,如果,即,则有;如果,即,则有;如果,即,则有;由此可知,形如或或(为整数)的数都具有性质P.又若,则,从而,进而可知.综合可知:当且仅当或(为整数)时,整数不具有性质P.又201492237,所以,在1,2,3,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质的数共有2242448个.