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1、第七讲：根与系数的关系韦达定理：若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a丰0)有两个实数根:练一练：1. 请你判断下列说法的对错： 方程x2 + 2x-7 = 0的两根之和为一2,两根之积为一7；() 方程x2- 2x + 7 = 0的两根之和为一2,两根之积为7；()2. 已知一元二次方程的两根为1 +迈与1-迈，则这个一元二次方程可为()A. x2 2x 1 = 0 B. x2 + 2x 1 = 0 C. x2 + 2、】2x 1 = 0 D. x2 2p2x 1 = 0例一.已知一元二次方程5x2 + kx 6 = 0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.例二.已知关于x的方程
2、x2 + 2(m 2)x + m2 + 4二0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比这两 个实数根的积大21,求m的值.例三.已知两个数的和为4,积为一12，求这两个数.例四已知x1，x 2是方程x 2 - 2 x - 1二0的两根，求一个以珥一 1，x2 - 1为根的一个一元二次方程.1 2(1) x + x ；(2) xx ；(3) x2 + x 2 ；1 21 21211(5) 1 x -x 1 ；(6)+ ；(7)x 3 + x 31 2x 2x 21 212例五.若片,x 2是一元二次方程X 2 + X - 1 = 0的两根求值(4) x2 + x 2 + x x ；1 2 1 2
3、x(8) x ；i例六 若关于X的一元二次方程X2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.例七.已知关于x的方程x2 - kx - 2 = 0 .(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；(2) 设方程的两根为x和x ,如果2(x + x ) xx ,求实数k的取值范围.1 2 12 12m 2例八.已知关于X的方程x2 - (m 2)x-丁 = 0 .4(1) 求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2) 若这个方程的两个实数根X, x2满足|x2| = |xJ+2,求m的值及相应的X, x?.课堂检测：1. 选择题:(1) 方程X2 -2p3kx +
4、3k2二0的根的情况是()(A) 有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根()(A)1mV 4m的取值范围是(2) 若关于x的方程mx2 + (2m+ 1)x + m= 0有两个不相等的实数根，则实数1(B) m-41(C) x 4，且详01(D) m-4，且 详02. 填空:若方程x2-3x-1 = 0的两根分别是xi和x2,1 2(2) 方程mx2+x2m=0 (mMO)的根的情况是(3) 以一3和1为根的一元二次方程是 3.已知；a2 + 8a +16 + I b - II = 0，当k取何值时，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?4已知方
5、程x2-3x-1=0的两根为x1和x2,求*-3)( x2-3)的值.课后练习：1. 选择题：(1) 已知关于x的方程X2+kx-2 = 0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B) 3(C)-2(D) 2(2) 关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A) 0(B) 1(C)-1(D) 0,或一12. 填空题(1) 已知方程5x2 + kx - 6 = 0的一个根是2,则它的另一个根为, k的值为(2) 方程kx2+4x1=0的两根之和为一2,则k=.(3) 方程2x2-x-4=0的两根为a , B，贝临2+p 2=.(4) 已知关于x的方程X2-
6、ax-3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是.(5) 方程2x2+2x-1=0的两根为x和x，则I x -x | =.1 2 1 2 3.已知方程x2 + 2x _ 1 = 0的两根为a和口b，求代数式(a 1)(b 1) + I a b I的值.4关于x的方程x 2 + 4 x + m = 0的两根为xi，S满足1 xi_叮=2，求实数m的值5求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程X 2 7 x 1 = 0各根的相反数.6. 试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2X2(2m+l) x+l = O有两个不相等的实数根？有两个 相等的实数根？没有实数根？7. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程X2 7x1=0各根的相反数.8 .已知x , x是关于x的一元二次方程4kx2 4kx + k +1 = 0的两个实数根.问是否存在实数k，使1 23(2x x )(x 2x )= 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；1 2 1 2 2附加题：(1)若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、一根小于1,求实数a的取值范围.(2) 若关于x的方程X2+x+a=0的一个大于一根小于0,求实数a的取值范围.(3) 若关于x的方程x2+x+a=0当x丘2,2有解，求实数a的取值范围.
