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1、平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y轴上有一点P(0，2)。作点P关于点A的对称点p1，作p1关于点B的对称点p2，作点p2关于点C的对称点p3，作p3关于点D的对称点p4，作点p4关于点A的对称点p5，作p5关于点B的对称点p6，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？ 解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2周期点的坐标为：P1(2,0
2、)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)20114=5023，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（2，0）解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，2） P3（2，0） P4（0，2）。根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，2），P4n+3（2，0）。20114=5023，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（2，0）总结：此题是循环问题
3、，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p点。2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移O1A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12xy动1个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m（n是正整数）（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向 （5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向（6）指出A106，A201的
4、的坐标及方向。解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x轴上，小蚂蚁每次移动1个单位， OA4=2，OA8=4，OA12=6，A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1） （2）根据（1）OA4n=4n2=2n，点A4n的坐标（2n，0）；（3）只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，点Am在x轴上，用含n的代数式表示为：m=4n或m=4n-1；（4）20114=5023，从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50
5、，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)1064=262，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同
6、,(227-1,1)，即(53,1)方向朝下。 2014=501，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(251-2,1)，即(100,1)方向朝右。方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106 / ，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴
7、上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0，0)(0，1) (1，1) （1，0），且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？解法1：到达（1，1）点需要2秒到达（2，2）点需要2+4秒到达（3，3）点需要2+4+6秒到达（n，n）点需要2+4+6+.+2n秒n(n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。35=56+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5，0）处，方向向右。42=67，所以第6
8、7=42秒在（6，6）处，方向向左49=67+7，所以第67=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）即第49秒在（0，7）处，方向向右解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右； 当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1，A2，A3，A4，表
9、示，顶点A55的坐标是（）解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)554=133
10、，A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限解法2：55=413+3，A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=41-1，A3的坐标为（1，1）， 7=42-1，A7的坐标为（2，2），11=43-1，A11的坐标为（3，3）； 55=414-1，A55（14，14）5、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）解：由于OM=1， 所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=O
11、M=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处68、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根据这个规律，第2012个点的横坐标为（ ）45解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，右下角的点的横坐标为n时，共有n
12、2个，452=2025，45是奇数，第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），7、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（ ）解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点第n列有n个点。1+2+3+4+12=78，第78个点在第12列上，箭头常上。88=78+10，从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上
13、，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（1，1），A4（1，1），A5（2，1），则点A2007的坐标为（ ）解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)第2周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)第3周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)第n周期点的
14、坐标为：A1(n,-(n-1)， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)因为20074=5013，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502)解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）A4n2（n，n）。因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；同理第二象限内点的下标是4n1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
15、第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；因为20074=5013，所以A2007位于第二象限。2007=4n1则n=502， 故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（502，502）8、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐标各是多少。 解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)，
