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1、第四章习题解答【4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零, 位为U 0，求槽内的电位函数。解根据题意，电位(0y(x,y)满足的边界条件为a( y,=): (x , 0) ；0 (x ,b U0根据条件和,电位上边盖板的电(x, y) 的通解应取为题4.1oa(x, y)八 AnSinh()sin()由条件，有n 二aaasin( asinh( n二 b a) 0故得到槽内的电位分布玖x,y)=d 送一1 sinV)黑4兀 nA,3hpnsin吨b；a ) a4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y = d到
2、两边同乘以sin(匚，并从o到a对x积分，得到An二a2U0n 二 x)dx a上板和薄片保持电位U。，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y =0到y =d，电位线性变化，:(0, y) =U0y/d。解应用叠加原理，设板间的电位为存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U。)的电位，即i(x, y) =U0*b ；(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导界条件为：2(x,0) = (x,b) =0：2(x,y 0 匕;:2 (0, y)U0 二(0, y) - ：1(O, y) =U 0U。*yU 0F(d 乞 y -) (x, 0FU。，电位 (x, y)的通解应取为:(
3、x, y)AneJr:y asi 门(口)；由条件，有UQA, si n(匚nganaan下x2Un兀x两边同乘以sin( )，并从o到a对x积分，得到 A Q sin( )dx = aa q a4UQ , n =1,3,5,n;故得到 （x,y）Q， n =2, 4, 6, |【4.5】一长、宽、高分别为 a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为二 X二 Z）的电荷。求体积内的电位c型（1 -cosn二）二=y（y _b）sin（ :）sin（ a解在体积内，电位满足泊松方程长方体表面S上，电位满足边界条件S = 0。1 :4Uoeyasi-戶)a：2：2：21 -y(y_b)si
4、 n( )si n( ) a c+=- +z-2 . 2 . 2x:-y:z由此设电位的通解为(1)m二 x、. ，nyPz(x,y, z) = Z Z Z AwpSin(二)sin(二)sin(二，代入泊松方程(1)，可得亠abc兀2-兀2 兀2-兀yAm()()si-() = y(y-b) (2)p吕 a b cbb2n二 y4 b 3y(y -b)sin( )d y () (cosn二 -1)=b Qbb n二由此可得 Amnp=Q （m=1或p=1）；由式（2）,得:二 2 n 二 2 二 27 (評n T，3,5丿（x, y, z）-；故n =2,4,6,l|【4.6】如题4.6图所
5、示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与解 由于在（0, d）处有一与z轴平行的线电荷 q，以：1（x, y）和2（x,y）都满足拉普拉斯方程。8b2二.八，万7-7 sin（）si n（）si n（- P n=1 , 3 ,“5 n3（丄）2 亠（n） 2亠（丄）2a ba b cz轴平行的线电荷qi，其位置为（Q,d）。求板间的电位函数。x = 0为界将场空间分割为 x Q和x Q两个区域，则这两个区域中的电位而在x=0的分界面上，可利用、：函数将线电荷q|表示成电荷面密度三)c1 _由条件和，可 由条件，有丁i1Ir-L-题4.6图由式（1），可得 A=Bn（3）；将式（2）二（y）q（
6、y -y。）。电位的边界条件为1(x,Q)= l(x,a) =Q，：2(x,Q)= /x, a) =Q1 (x ,y ) Q (x i(0, yH 2(0, y)设电位函数的通解为a- Ansin(n a am二 y：)，2(x, y)； Q (x -：gcpb:xoO An sin(n =1as( a )两边同乘以sin（ ），并从Q到a对y积分，有)=(y-d)；Q)=送 Bn sin(也nW)a(1)=彳、(y - d)-Q由式(3)4.7数。解An Bnn 二；0和(4)解得ao、(y-d)s in ()dy =a2ql . ,n二 dn 二；0sin(ai(X,y)=2f lsi-(
7、P)e牛xasi-(口)0 n 4 aa如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷(X 0)qi。求槽内的电位函由于在(x0, y0)处有一与z轴平行的线电荷qi ，以x二1(x, y)和(x, y)都满足拉普拉斯方程。而在x = x0的分界面上，可利用：函数将线电荷ql表示成电荷面密度 二(y)二qi、：( y - y)， 电位的边界条件为 i(0y =)，2(a,y)=0， i(x,0)= n(x,b) = 0，2(x,0)= 2(x,b) = 0 J(x0,y)=2(x,y( ： 1x 由条件和，可设电位函数的通解为 由条件，有0 : x ：X)和x0: x : a
8、两个区域，则这两个区域中的电位X zXo(y-yo)Xo为界将场空间分割为O0二 AnSin(n 4n兀n兀yn兀x0严 n兀n兀yn兀ql、An 一sin( y)cosh(-)一、Bn一sin( y)cosh(a-X0)-、(y y0)n吕bbbnbbbn 二 yn 二 x0_)si nh(-)=Bn si n(bbn二 y)sinh (a-x。)bb(1)n 二 x0(2)n : x0n 二由式(1)，可得 Ansinh()一Bnsinh(a x0) =0(3)bb将式(2)两边同乘以sin(m y)，并从0到b对y积分，有b-兀 x0-兀2qi、.，niry2qi兀y0、a- cosh(
9、-0) Bn cosh-(a - 冷)。、W 一。怡in(肓)dy 二厂 sin(_)(4)bbn 兀 %bn 兀 %b由式(3)和(4)解得故i(x,y)二组1 si-h- (a-x) sin(- %)sinh( - X)sin( - - )，(0 ： x ： x)阳0 -土-si-h(-nab)bbbb2qi1-二 Xd、 n : y0-二n : y z、2(x, Y) -si-h( -) sin(0)sinh(a-x)sin( )，(x。： x ： a)哗o -#-si-h(-兀a.；b)bbbb若以y =yo为界将场空间分割为 0 ： y : y。和y。： y ： b两个区域，则可类似
10、地得到*4.8如题4.8图所示，在均匀电场 E。二eXE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为 a。求导体圆柱外的电 位和电场e以及导体表面的感应电荷密度-。解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E。的电位;:0与感应电荷的电位：n的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为:0(r, ) = -Eox C = -Eor cos C (常数C的值由参考点确定)，而感应电荷的电位;：in(r, )应与;：o(r,) 一样按cos变化，而且在无限远处为。由于导体是等位体，所以(r/ )满 足的边界条件为 ：(a,
11、)=C (r / p -Ed r cos C()由此可设 (r, ) = -Eor cos Ar cos C由条件，有E0acosA1a cosC = C2 2 1于是得到A = a Eo，故圆柱外的电位为(rJ = (_r a r-)Ecos C若选择导体圆柱表面为电位参考点，即(a, 0，贝U C = 0。导体圆柱外的电场则为导体圆柱表面的电荷面密度为；.- _ ；0v =2 ;(E oCOS*4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为 a、介电常数为:，在距离轴线r0 (r0 - a)处，有一与圆柱平行的线电荷 qi， 计算空间各部分的电位。解在线电荷:p(r,)qi作用下,叠介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位 (r,)均为线电荷 qi的电位：:i(r)与极化电荷的电位， 即 :(r, ) = i(r, ):p(r,)线 电 荷 qI 的InqiUr,)二qiIn、r2r。2 -2rr cos(1)而极化电荷的电位p(r,)满足拉普拉斯方程，且是 2(r,)满足的边界条件为分别为;：i( 0 /为有限值；的偶函数。介质圆柱内外的电位2(r,)|? 11 2o -dr dr由条件和可知，(r,)和2(r,)的通解为oO打(r,)二 i(r, ) Anrn cosn -n =1oO2(r, )
