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1、实验报告一题目： 非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在a,b上连续，f(a)f(b)0，且f(x)在a,b内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)0
2、; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear% 输入函数f=input(请输入需要求解函数,s)%求解f(x)的导数df=diff(f);%改进常数或重根数miu=2;%初始值x0x0=input(input initial value x0);k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,x0,x);%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)1e-8) x1=x0-miu*eval(subs(f,x0,x)/eval(subs(df
3、,x0,x); R=x1-x0; x0=x1; k=k+1;if (eval(subs(f,x0,x)max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input(maybe result is error,choose a new x0,y/n?,s); if strcmp(ss,y) x0=input(input initial value x0); k=0; else break end endendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1. 用二分法计算方程在1，2内的根。(,下同)计算结果为x= 1.40441513061523；f(x)= -3.7
4、97205105904311e-007；k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2. 用二分法计算方程在1，1.5内的根。计算结果为x= 1.32471847534180；f(x)= 2.209494846194815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3. 用Newton法求解下列方程a) x0=0.5；计算结果为x=；f(x)= 2.220446049250313e-016；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b) x0=1；c) x0=0.45, x0=0.65； 当x0=0.45时
5、，计算结果为x= 0.49999999999983；f(x)= -8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x= 0.50000000000000；f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x00.68时，x1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取 x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。当
6、x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改时，结果收敛为x=0.50000087704286；f(x)=；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。当x0=0.85时，结果收敛为x= 1.00000000000489；f(x)= 2.394337647718737e-023；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论： 对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度
7、和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。实验报告二题目： Gauss列主元消去法摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。前言：（目的和意义）1. 学习Gauss消去法的原理。2. 了解列主元的意义。3. 确定什么时候系数阵要选主
8、元数学原理：由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若=0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行r，使得并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下：1. 消元过程对k=1,2,n-1,进行如下步骤。1) 选主元，记若很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。2) 交换增广阵A的r，k两行的元素。 (j=k,n+
9、1)3) 计算消元 (i=k+1,n; j=k+1,n+1)2. 回代过程对k= n, n-1,1,进行如下计算至此，完成了整个方程组的求解。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。 Gauss消去法源程序：cleara=input(输入系数阵：n)b=input(输入列阵b：n)n=length(b);A=a bx=zeros(n,1);%函数主体for k=1:n-1;%是否进行主元选取if abs(A(k,k)abs(t) p=r; else p=k; end end %交换元素 if p=k; for q=k:n+1; s=A(k,q); A(k,q)=A(p,q); A(p,q
10、)=s; end end end %判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重if abs(A(k,k) yipusilongdisp(矩阵奇异，解可能不正确)end %计算消元,得三角阵 for r=k+1:n; m=A(r,k)/A(k,k); for q=k:n+1; A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m; end endend %求解x x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); for k=n-1:-1:1; s=0; for r=k+1:n; s=s+A(k,r)*x(r); end t=(A(k,n+1)-s) x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)end结果分析和讨论
11、：例：求解方程。其中为一小数，当时，分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果。记Emax为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：当时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同。 0.99999934768391 0.99999934782651 2.00000217421972 2.00000217391163 2.99999760859451 2.99999760869721Emax=，0此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。当时，不选主元和选主元的计算结果如下 1.00001784630877 0.99999999999348 1.99998009720807 2.00000000002174 3.00000663424731 2.99999999997609Emax= 2.036758973744668e-005，0此时由E
