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1、_第一章 随机事件与概率第一节 随机事件及其运算1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为=,其中 表示基本结果，又称为样本点。3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，表示必然事件，表示不可能事件。4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。5、 时间的表示有多种：（1） 用集合表示，这是最基本形式（2） 用准确的语言表示（3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导
2、致事件B发生，则称A被包含于B，记为AB;（2）相等关系：若AB且BA，则称事件A与事件B相等，记为AB。（3）互不相容：如果AB=，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 AB。（2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A B或AB。（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 AB。用交并补可以表示为。（4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即 “A不发生”，记为。对立事件的性质：。8、事件运算性质：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA（2）结合律：A(BC)=(AB)C=AB
3、C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)(AB)(AC)、 A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）棣莫弗公式（对偶法则）： 9、事件域：含有必然事件，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类称为事件域，又称为代数。具体说，事件域满足：（1）;(2)若A，则对立事件；（3）若An，n=1,2，则可列并 。10、两个常用的事件域： （1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； （2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。第二节 概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域上的一个实值函数P（A）满足：
4、（1）非负性公理：若A，则P(A)0；（2）正则性公理：P()1（3）可列可加性公理：若A,，A2，A3互不相容，则有 ，即，则称P（A）为时间A的概率，称三元素（，P）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是： （1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；（2） 在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称 fn(A)= ， 为事件A出现的频率；（3） 频率的稳定值就是概率；（4） 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n
5、个；（2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）；（3） 若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P（A）=。4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：（1） 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用Sn表示；（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3） 若事件A为中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为P（A）= .5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。6、概率是定义在事件域上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若
6、不满足三条公理就不能称为概率。第三节 概率的性质：1、 P()02、 有限可加性：若有限个事件A,，A2，A3互不相容，则有 ，3、 对立事件的概率：对任一事件A，有4、 减法公式（特定场合）：若AB,则P(AB)P(A)P(B)5、 单调性：若AB，则P（A） P（B）6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A、B，有P(AB)P(A)P(AB)7、 加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。对任意n个事件A1，A2，An，有8、 半可加性：对任意两个事件A、B，有.9、 事件序列的极限：（1） 对中任一单调不减的事件序列，称为可列并为极限Fn的极限事
7、件，记为。（2） 对中任一单调不增的事件序列，称为可列交为极限En的极限事件，记为。若,则称概率P是上连续的10、 概率的连续性：若P为事件域上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的11、 若P是上满足P（）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。第四节 条件概率 1、条件概率：设A、B是两个事件，若P(A)0，则称P(A|B)=为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。2、乘法公式：（1）若P(B)0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A1A2An-1)0，则有。3、全概率公式：设事件互不相
8、容，且，如果，则对任一事件A有，i=1,2,，n。 。4、贝叶斯共公式：设事件，互不相容，且，如果P（A）0，,则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫Bi的先验概率。，（，），通常称为Bi的后验概率。 第五节 独立性1、两个事件的独立性：如果满足，则称事件、是相互独立的，简称A与B独立。否则称A与B不独立或相依。若事件、相互独立，且，则有2、若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，An，如果对任意的1Ijkn，以下等式均成立则称此n个事件A1，A2，An相互独
9、立。4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。5、试验的独立性：假如实验E1的任一结果（事件）与试验E2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。6、n重独立重复试验：假如一个试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A与，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布1、 随机变量：定义在样本空间上的实值函数X=X()称为随机变量。（1） 离散随机变量：
10、仅取有限个或可列个值的随机变量（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a，b）的随机变量。这里a可为-，b可为+。2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数为X的分布函数，记为XF(x)。分布函数具有如下三条基本性质：（1） 单调性：F（x）是单调非减函数，即对任意的x1x2,有F(x1)F(x2)；（2） 右连续性：F（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有，即F(x0+0)=F(x0)；（3） 有界性:对任意的x，有0F(x) 1，且F(-)=0，F(+)=1可以证明：具有上述三条性质的函数F（x）一定是某一个随机变量的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数
11、F(x)的值就表示X落在区间 内的概率3、离散型随机变量的概率分布列: 若离散型随机变量的可能取值为xn(n=1,2,)则称X取xi的概率为Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：。分布列具有两条基本性质： （1） 非负性;， （2）正则性:。离散随机变量X的分布函数，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量X取值于区间（a，b 上的概率为P(aXb)=F(a)-F(b).常数c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X=c)=1，它的分布常称为单点分布或退化分布。4、连续随机变量的概率密度函数: 记连续随机变量
12、X的分布函数是F(x)，若存在非负可积函数p（x），对任意实数x，有，则称为连续型随机变量。p（x）称为的概率密度函数，简称密度函数。密度函数p（x）具有下面2个基本性质：（1） 非负性:;（2） 正则性：。5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。6、设随机变量X的分布函数F(x)，则可用F(x)表示下列概率： （1）P(Xa)= F(a)； （2）P(Xa)=1-P(Xa) =1-F(a)；(4) P(X=a)= P(Xa)- P(Xa)= F(a)- F(a-0);(5) P(Xa)=1- P(Xa)=1- F(a-0);(6) P(|X|a)=P(-aXa)= P(Xa)- P(X-a)= F(a-0)- F(-a). 第二节 随机变量的数学期望1、 数学期望：设随机变量X的分布列p（xi）或用密度函数p（x）表示，若，则称E(X)= 为X的数学期望，简称期望或均值，且称X的数学期望存在。否则数学期望不存在。数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征。如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的。期望相当于重心。2、 数学期望的性质：假设数学期望存在，（1） X的某一函数g（X）的数学期望为（2） 若C为常数，则E(C)=C（3） 对任意常数
