《线性空间与欧几里得空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性空间与欧几里得空间（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性空间与欧几里得空间自测题一、填空题1、对欧几里得空间V中的任意向量a, P，有|（a, P|P|,而且等号成立当且仅当。2、设叫与乙是V的两个线性子空间，如果叫+ W 中的每个向量a都可唯一的被表示成a=a+a，a e W，a e W，则称W + W为这两个子空间的。 121122113、 两个同构的线性空间的维数。4、 第二类正交变换的行列式的值等于。5、 如果A是正交矩阵。若k为实数，使kA为正交矩阵，则k等于。二、选择题6、下列R的子集是Rn的子空间的为（）A：C：i ,a ,a .,a )a e Z,i = 1,2,3.,n b：123 n i:,0,.,0,a )a ,a e R
2、1n 1 12C：a , a ., a ) a2 + a2 +. + a2 112 n 12n7、全体正实数的集合R +对于下面定义的加法与标量乘法：ab = ab,k a = ak构成r上的线性空间，则R +的零元素为（）A： 0B: 1C: 2D: 38、若A是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k是更1的整 数）A:kAB: AkC:交换A的任两行所得的矩阵D：把A的某行k倍加到另一行所得的矩阵9、设A是欧几里得空间V关于基*，a2，.，an的度量矩阵，则a满足以下哪个条件时，*，a2，a是规范正交基？（）A: A是正交矩阵 B： A为对称矩阵C： At为正交矩阵D：
3、A为单位矩阵10、以下哪个结论不是两个线性子空间吗与吗的和W1+吗为直和的等价命题：（）A： dimdim如 + W ） dimW*dimW + W2） dimW2）B: wnW2= 0C： dim(w + W2)= dimW + dimWD:若a1，.,a是吗的一个基，p，,p是w的一个基,Pn线性无关。三、判断题欧几里得空间中任一基下的度量矩阵必为实对称矩阵正交变换保持向量间的夹角不变在R3中，对向量a = (a , a , a ) P=(b , b , b )规定 G，12312311、12、13、则R3关于这一实函数成为欧几里得空间。14、当数域K和非空集合V固定时，只有惟一的一种方法
4、定义线性空间。()四、计算题15、集合 V = =(a11!,a ,a ,a )a -a + a -a =。与 V =(a,a ,a,a )a + a + a + a = 12341234212341234是R4的两个子空间，找出匕n V的一个基，并求V n V的维数。16、与 W 分 别% = G,3,3,-1)与3 = G,2,2, - 2)a =61,0,。a =G,2,3,0)1一生成的子空间在欧几里得空间中求以下各组向量的长度和夹角。a = (3,1,1,1) p = (1，0,1,2)(2)a = 61,1,2)p = G,1，1,0)2求u+w和u n w的基和维数。P2 =(2
5、,3,2，3)P3=G,3,4，3)17、(1)18、求由欧几里得空间R4中的向量a1=G,2,2，- a2 =(1,1，-5,3)，气二包2,8，-7)所生成的子空间的规范正交基。19、在标准欧几里得空间R4中，求向量P=G,3，-5,2)在由向量a 1=(_2,1，2,3)，a2 = G,2， 3,2)a3 = G，2，3，1)生成的子空间上的正交投影p *。20、设U是n维线性空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V的子空间W，使V = U W.21、设A = (a )e M (R)为正交矩阵，且|A| = 1。证明：a = A，这里A是a的代数ij nij ijij ij余子式。22、设a , . a. , P , . .p.,为欧几里得空间V的两组向量。证明如果 1 m 1 mC , a ）=P,B ）i, j = 1,2,.,m,，则子空间 V 二L（a，a ）与 Vi j i j11 m 223、设V, V，,V是欧几里得空间V的子空间，W = V + V +.12 s12=L%.,七）同构。+ V .若V ,V，,V两两 s 12 s正交，证明：W = VV.V。12S
