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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页 共1页基于随机库存系统的提前期需求分布推导摘要 对研究提前期需求分布（distribution of lead time demand）的几种方法，本文关注的是其中的复合分布法。为减少分析量，大部分已知的分析模型都运用复合分布法，并忽略一些分量的复合性质。本文描述了一个理论检验，并阐明了分析模型时的假设，为研究人员和实践者提供一些预防措施。关键词 存货 提前期需求 复合分布 更新过程1. 引言提前期需求分布是设计存货管理系统的基本知识，这使提前期需求不断得到研究人员和实践者的关注。在随机存货模型的作品中，关于LTD的理论
2、研究可被粗略的分为三组：第一组运用多种理论分布表示LTD，包括泊松分布、伽玛分布、正态分布、截略正态分布、对数正态分布、威布尔分布、非参数分布（Poisson, Gamma， Normal, Truncated Normal, Lognormal, Weibull, Non-parametric）等等。第二组试图适应包含4个参数的分布中的一个，皮尔逊分布或Schmeiser Deutsch。这组的研究者包括Kottas和Lau (1980)，Kumaran和Achary(1996)，Lau和Lau(1993)，Shore(1999)等。第三组尝试从给定的需求分布和提前期得到LTD分布，包括Ba
3、gchi等人(1984)，Carlson (1982)，Girlich (1996)，McFadden (1972)，van der Heijden和de Kok (1998)等。本文的重点在第三组方法，很明显它将LTD分布视为复合分布。如Bagchi等人提到的，复合分布法有以下优势：（1）复合分布的分量能单独作为模型，可以估计参数；（2）由于单个分量有更简单的结构，所以这比直接用复合分布建模更加可靠，而且这种方法可充分利用数据。以上研究中，期间需求和提前期被假定为随机变量，LTD分布被视为复合分布。Bagchi等人提出了得到LTD分布的方法。OS-OI-LT法首先将订单强度（order in
4、tensity）、订单大小（order size）、交货提前期作为主要因素。然后，为减少LTD的分析任务，将其中的两个合并为中间因素。依据此法的研究是最让人满意的，这并不让人奇怪。因为即使只有两个随机因素，复合分布的分析依然是具有挑战性的。一方面，对LTD分布建模会出现大量的计算困难，不易操作。另一方面，即使用更简单的LTD分布法建模，也不足以代表真实值。毫无疑问，我们会将用更简单的分布法得到的值作为近似值。然而，我们需要研究的是在什么情况下更适合用更简单的方法。本文并不旨在评论复合分布法中最常用的OS-OI-LT法，而是通过阐明OS-OI-LT法的假设和一些预防措施来帮助研究人员和实践者们在
5、现实中运用OS-OI-LT法。首先，我们定义了所研究的问题的情形，将得到LTD的两种分布法-OS-OI-LT和OS-IT-LT视为复合分布法。然后从理论上对两种方法进行检验和比较。基于检验和比较的结果，详细观察了OS-OI-LT法的特征，并指出在哪种情况下适合用OS-OI-LT法。最后，我们在不同情形下进行了对比实验。2.LTD的复合分布法图1描述了我们关注的情况。顾客订单到达的时间是随机的，假定下订单的时间间隔是随机的且相互独立，由单位的数量表示。假定订单大小也相互独立，那么LTD就是在LT顾客需要的总单位数量。如图1中的LTD是19。若将0-t之间的累积需求定义为D（t），那么LTD就是D
6、（LT）。在存货管理系统中，LT或补充存货时间是装满一个订单与从供应商那里接到订单的时间（LT0）。图2描述了两种得到LTD的方法。左边的方法是由Bagchi等人提出的OS-OI-LT法。它首先通过订单强度（OI）、每个时期的订单量和订单大小（OS）得到每单位时间的需求(DPUT)，即一个时期的总需求。然后将DPUT和LT结合在一起就得到了LTD。（Bagchi等人还提出过另外一种方法，此法运用了提前期订单饱和度、由OI和LT得到的提前期订单数量，然而由于这种方法与OS-OI-LT法基本相同，且知道的人不多，所以本文将此法略去。）右边的方法是OS-IT-LT法，常被用于研究随机存货系统。OS-
7、IT-LT法首先运用OS和到达间隔（IT，连续订单间的持续时间）得到D(t)，然后联合D(t)和LT得到LTD。虽然OS-IT-LT法在计算和分析上较为棘手，但它比OS-OI-LT法更适合我们考虑的情形。我们将通过OS-IT-LT法来研究OS-OI-LT法的特点。2.1 OS-IT-LT法OS-IT-LT法运用OS和IT得到D(t)，即在0到t期间的总需求。假设一个订单大小的数列OSi，i=0,1,2,，数列中每个OSi都是独立的，且有相同的概率质量函数（probability mass function） h(.)和累积分布函数H(.)，均值为mOS，方差为s2OS。那么当t0时D(t)可定
8、义如下：N（t）是0到t期间顾客的订单数，N(0)=0，D(0)=0。F(d;t)是D(t)的分布函数，给定时间t，令d,t0，则假设数列ITi,i=0,1,2,为顾客下订单的时间间隔，其中每个ITi都相互独立，服从相同的概率密度函数g(.)和分布函数G(.)，均值mIT，方差s2IT。非负整数随机过程（nonnegativeinteger-valued stochastic process）N(t),t0是一个更新过程，它记录了0到t期间顾客下的订单。设Wn为第n个订单发生前的等待时间。这里W0=0，IT0=0。等待时间过程Wn,n=0,1,2,和再生过程N(t),t0间的基本联系是，如果只
9、有Wnt，那么N(t)n。对于n,t0， （4）这里Gn(t)是G(t)的n重积分。当t0时， G0(t)=1,G1(t)=G(t)。因此，从（4）中，可以得到，当n,t0时，将（6）代入2中，得d,t0时Hn(d)是H(d)的n重积分，因此d0时，H0(d)=1，H1(d)=H(d)。由（7）表示的D(t)的累积分布函数决定于（5）和（8），通过转化方式可以得到D(t)的更加详细的描述。我们分别用定理1和定理2表示一般的离散型分布和连续型分布（general discrete and continuous distributions）。定理1：h(x)是x的（离散型）概率质量函数，x=，(x
10、)定义为，当n时这里jl是非负整数，证明：运用离散拉普拉斯算子Lu=，得*是离散型有限积分，由（10）定义的是中sj的系数。定义为指示函数（indicator function），即x=0时，=1，x0时，=0。将代入（11）中，得定理2：如果g(t)是t0时的（连续型）概率密度函数，那么时G n(t)可大概定义为L是将的时间等分成的数量，j l是非负整数，证明：我们通过拉格朗日插值多项式（Lagrange interpolating polynomial）pl(t)在点（ti,g(ti)）处接近g(t)， 。（5）中的G n（t）重新定义为将拉普拉斯算子Lu= 代入到（15）中，得 其中bn
11、(k)由（14）定义，它是1/sj在中的系数。将代入（16），得到（13）。最后，联合D(t)和LT，得到LTD。设L(d)是LTD的累积分布函数，LT服从k(.)的概率密度函数，均值为mLT，方差s2LT,则d0时2.2 OS-OI-LT法OS-OI-LT法结合OS和OI，通过隐式处理DPUT的复合性质，减少了决定LTD的分析任务。假定OI服从概率质量函数p(.)，均值mOI，方差s2OI,那么每单位时间的需求可定义为其联合概率分布（associated probability distribution）为为得出LTD，OS-OI-LT法将DPUT和LT联合起来。然而，（19）式没有包括时间
12、参数。因此，在OS-OI-LT法中，在0到t时间的总需求D（t）由一段时间的DPUT得到。换句话说，因为DPUT是单位时间的需求，OS-OI-LT法假定D（t）是由和DPUT成比例的时间得到。则d0,t0时与（7）式相比，（20）表明了OS-OI-LT法通过忽略DPUT的复合性质而减少任务量。最后，得到的LTD与（17）式类似。2.3 对OS-IT-LT法的理论检验Bagchi等人认为，为得到解答，忽略OS-OI-LT法中的中间分量的复合性质可能需要支付代价。然而，如果这个代价不可接受，我们认为最好还是考虑其他方法。通过比较这两种方法，我们检验需求过程的特性，并指出在何种情况下，适合用OS-O
13、I-LT法。在OS-IT-LT法中，由于（1）中的OSi和N（t）是随机变量，所以D(t)也是随机变量。D(t)的均值和方差为同样，（18）式中，DPUT也是随机变量，均值和方差为由于OS-OI-LT法假定D（t）是由和DPUT成比例的时间得到，OS-OI-LT法中D(t)的均值和方差为我们运用方差和均值的比值（variance-to-mean ratio） (VMR)来测量需求变化。虽然VMR（也称离差指数）与经常使用的变动系数相比少为人知，但它更易区分离散分布。根据（23）式，OS-OI-LT法基于假定累积需求的VMR是不变的。换句话说，累积需求的均值和方差随着时间以相同比率增加。当（21
14、）中的更新过程是泊松过程时，这个假定是有道理的，换句话说，只有当IT服从指数分布时，OS-OI-LT法和OS-IT-LT法才是相容的。但是，根据N(t)的渐近性态（asymptotic behaviors），N(t)的均值和方差的估计值分别是t/IT和，这就意味着在时间足够长的情况下，无论IT服从什么分布，两种方法得到的D（t）类似。基于以上理论检验，我们可以推断，OS-OI-LT法适合需求过程是复合泊淞过程的情况。我们还可以推断，即使是其他情况，当IT的均值IT大到允许使用渐近线时，也可以用OS-OI-LT法。下一节我们通过不同情形下的对比实验来检验这个推测。3.对比试验为检验两种方法，我们
15、进行了多种情况下的对比试验，见表1。设IT的分布为均匀分布和指数分布，OS的分布为均匀分布、二项式分布和泊松分布。为了确定LT的影响，我们考虑LT=3.0，LT=5.0（IT）和IT=10.0，IT=20.0（IT）以及LT服从指数分布的情形。 图3表示了表1中的不同情形下D（t）的VMR，可以看到，随着时间的变化，所有情形下的D（t）的VMR都接近一个固定值。因此，我们可以推测，如果考虑的时间足够长，则两种方法得出的LTD相似。LTD的累积分布函数L(d)可用OS-IT-LT法有（17）式得到。然而，为了用OS-OI-LT法得到L(d)（来自（20）式中的D（t）,我们需要有关OI和p(n)(它们都很难进行分析)的信息。由于我们的单独实验结果表明，给定时间时，D（t）向右倾斜，数据点也进一步证实，因此我们用伽玛分布作为D（t）的渐进逼近。又由于OS-OI-LT法基于假设累积需求的VMR是固定不变的，所以这里的伽玛分布有一个依赖于时间t的参数。图（4）表示的是在表1中的情形1下，两种方法得出的L（d）的对比。第一个对比的是ITU（1.0，9.0），OSU（15，25），LTE（3.0）或E（10.0）的情况，
