集合论的发展

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1、谈谈集合论的发展历程集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的发展历程和数学史上最有争 议的人物之一康托尔是联系在一起的。他是集合论的创立者，19世纪末20世纪 初德国数学家。他从事的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和传统的理 解。但数学的发展最终证明康托尔是正确的。集合论不仅影响了现代数学，也深 深影响了许多方面。2、集合论背景集合论诞生原因来自现今数学分析这门课程。在18世纪，由于无穷概念没有精 确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，还使无穷概念在数学中信誉 扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连 续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。19世

2、纪发展起来的极限理论解决 了微积分理论所遇到的逻辑困难。但并没有彻底完成微积分的严密化。19世纪 后期的数学家们发现产生逻辑矛盾的原因在奠定微积分基础的极限概念上。柯西 的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，只是建立在纯粹严密的算术的基础上。 很多数学家致力于分析的严格化。这一过程都涉及到对微积分的基本研究对象 连续函数的描述，涉及关于无限的理论。无限集合在数学上的存在问题又被 提出来了。这自然导致寻求无限集合的理论基础工作。它成了集合论产生的一个 重要原因。其中康托尔集在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多 显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点

3、 集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合， 但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。 康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个完备集的例子。康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间0,1用分点1 212.,一.、-，- 与三等分，并除去中间的开区间（-，-）o把余下的两个闭区间各三 3 33 31278等分，并除去中间的开区间（-，-），（7，8）。然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集P。与开集G。u（ 32，32，pH 33, *，33）2526（,3333P0是G0的补集。康托尔集就

4、是由所有过程中没有被去掉的区间0, 1中的点组成。康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变 函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。集合论是从一个物件。和集合A之间的二元关系开始：若。是A的元素， 可表示为。e A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合 的关系。另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都 是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A B。例如1,2 是1,2,3 的子集，但1,4就不是1,2,3的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集， 不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合

5、A为集 合B的子集，且集合B不是集合A的子集。数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元 运算：比如1. 集合A和B的并集、交集。2. 集合U和A的相对差集，符号为U A，是在集合U中，但不在集合A中的所有 元素，相对差集1,2,3 2,3,4为1，而相对差集2,3,4 1,2,3为4。 当集合A是集合U的子集时，相对差集U A也称为集合A在集合U中的补集。3. 集合A和B的对称差，符号为A B或AB，是指只在集合A及B中的其中 一个出现，没有在其交集中出现的元素。例如集合1,2,3和2,3,4的对称差为 1,4，也是其并集和交集的相对差集(A U B) (A A B)

6、，或是二个相对差集的联 集(A B) U (B A)。3、集合论的建立康托进入柏林大学后，对数论较早产生兴趣，集中精力对高斯留下的问题作 了深入的研究。他的毕业论文就是关于素数的问题。然而，他很快接受了数学家 海涅(18211881)的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个有趣也是较困 难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一?对康托来说这个问题是使他 建立集合论的最直接原因。1822年傅立叶(17681831)提出了函数可用三角级数 表示。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，1870 年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间-n，n中去掉函数间断点的 任意小

7、邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函 数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯 一性问题。他跨出了集合论的第一步。集合论的难点是无穷集合这个概念本身。这种集合的本质看来是矛盾的，很 难象有穷集合那样来把握它。早在16世纪，伽俐略(15641642)就注意到了相 关的问题。康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段， 因为它将出现部分等于全体的矛盾。康托于1895年和1897年先后发表了两篇有决定意义的论文。他用集合作 为基本概念。引进了它们的符号；规定了它们的加法、乘法和乘方。在1895 年的文章中遗留下两个悬而未决的

8、问题：一个是连续性假说；另一个是所有超 穷基数的可比较性。他虽然认为超穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显 叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素(18721970)发表了他的著名悖论。集合 论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。那什么是罗素悖论呢？罗素悖论就是假设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S=xlxW x”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合xWS， 则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合xWS，S包含于S形象的讲就如理发师悖论中的一样。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的 元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属 于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于 他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。4、集合论的意义但总之集合论仍然是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透 到代数、拓扑和分析等数学分支以及物理学等一些自然科学领域，为这些学科提 供了基础的方法。如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。 集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，对现代数学的发展也有深远的 影响。