固体物理第七章

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1、第七章 金属的电导理论 现在我们研究金属的电导。在经典理论中，金属的传导电子在外电场作用下获得加速度，如果没有别的力存在，电子将持续加速。然而，在金属体内部还有阻力的存在，阻力的大小同电子的速度成正比，这样，电子被加速到某个终速度，此时阻力正好同电场力平衡。由于阻力正比于速度，因而电力同电场成正比，这就解释了欧姆定律。从量子力学出发处理这个问题，必须搞清楚在外场作用下电子的运动规律以及阻力相当的微观结构。 在第五章中我们已经知道，如果电子的运动用波包中心的运动代表，则在外电场 和磁场B中电子的运动规律是 =F=-e(+VB),式中k代表波包中心的波矢。这样描述电子是有条件的，因为按照测不准关系

2、.组成波包所需的波矢范围是，它必须比布里渊区的线度小得多，因此在实际空间波包的尺度必定比晶格常数a大几倍。这个条件对金属的传导电子并不苛刻，因为电子的自由度原比波包的尺度大得多。 现在讨论阻力的微观机构，在完整的晶体中，电子是周期性势场中运动，电子的稳定状态是布洛赫波描写的状态，这时不存在产生阻力的微观机构。可是对于不完整的晶体，例如晶体中的杂质,缺陷,晶粒间界面等结构上的不完整性，以及由于晶体原子的热振动而离开平衡位置等原因都会导致偏离周期性势场。这种偏离使电子波遭受散射，电子就会改变运动方向，这就是经典理论中阻力的来源。显然，可以预料金属的电阻依赖于它含有的杂质原子数目，事实上也确如此。这

3、个电阻就是所谓“剩余”电阻，因为在甚底温度的条件下，原子热振动引起的电阻应趋于零。 晶格热振动是产生偏离周期场的另一个主要原因。在常温条件，原子振动的均方振幅同绝对温度成正比，导致单位体积内散射的次数同温度成正比，因而电阻同温度成正比。在同时有杂质和原子热振动时，金属电阻是两方面电阻相加，这是一个实验结果，称为妈德森定则。在很底的温度下，晶格热振动的均方振幅比按线性关系变小更快，因而电阻随温度的变化关系不再是线性的，实验和理论分析都得到在低温下热振动产生的电阻按T规律变化。 此外，不同金属的能带结构是不同的，这也是影响电阻率的大小，特别具有不满d壳层的过渡金属就更为显著。 不同状态的电子有不同

4、的坐标和速度（用波包描述），它们对电导的贡献是不同的，所以必须考虑电子的分布函数。在外场下，这将是非平衡的分布函数。只有建立能够确定非平衡分布函数的方程玻耳兹曼方程之后，才有可能处理以上列举的问题。由于玻耳兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面。且在各想同性的弹性散射以及弱条件下的情况。 7.1 玻耳兹曼方程 我们已经知道电子的速度 ，它同波矢k是一一对应的。我们将以实现坐标r和波矢k为变量组成相空间。在相空间中，电子是以分布函数f(r,k,t)来描写的，它代表t时刻在（r,k）点附近单位体积中一种自旋的电子数。所以t时刻在相空间单位体积元drdk中一种自旋的电子数是f(r,k,t

5、)drdk.(7-1) 现在来研究f(r,k,t)如何随时间变化，在粒子数守恒条件下，它的总变化率有两部分： ， (7-2)这里代表电子因受散射引起的分布函数的变化，代表分布函数因外场和散射引起的变化。如果电子的分布不随时间变化而处于稳定状态，则。此时外场和散射的作用相副抵消。因此有 .(7-3) 漂移项是外场作用力所引起的电子波矢的漂移以及速度导致位置漂移的结果。在相空间中，t时刻在（r,k）附近单位体积中的电子是有t-dt时刻在（r-vdt,k-dt）附近单位体积中的电子漂移而来，即 f(r,k,t)=f(r-vdt, k-dt,t-dt).所以 (7-4)代人（7-3）式得 .(7-5)

6、 再看碰撞项，它可写成 , (7-6)式中b代表单位时间内因碰撞进入（r,k）处相空间单位体积中的电子数。若代表单位时间内从态碰撞而进入态的几率，计人泡利不相容原理 , (7-7)a则为单位时间中由于碰撞离开（r,k）处单位体积的电子数 (7-8) 所以确定分布函数f的方程式是 ,(7-9)这个方程式称为玻耳兹曼输运方程，它是一个微分方程。图7-1示意地画出了玻耳兹曼方程中漂移和碰撞对分布函数的贡献。图中的点子表示相空间有关区域中所含有的一种自旋的电子。还假定在相空间出发点（r-dt,k-dt）电子遭遇到碰撞，有此出发作漂移，在漂移的时间dt内电子没有到达目的地（r,k）的瞬时又发生了碰撞。按

7、照图中所示的情况，在t-dt时刻，在（r,k）处单位体积中有n(r,k,t-dt)= f(r,k,t-dt) 1=7个电子；同时，在（r-vdt,k-dt）处单位体积中有n（r-vdt,k-dt,t-dt）=f(r-vdt,k-dt,t-dt)1=8个电子。在t-dt t的时间内，由于外场的漂移作用，在（r,k）处单位体积内的电子数为 n(r,k,t)=n(r-vdt,k-dt,t-dt)=8个所以漂移使（r,k）处单位体积的电子数在dt时刻内增加n(r,k,t)-n(r,k,t-dt)=8-7=1个。在时刻t的瞬间（r,k）处单位体积因碰撞进入该区的电子数bdt=1个因碰撞离开此区域的电子十

8、adt=2个。所以在该区域内因碰撞而净增加的电子数为（b-a）dt=-1个。外场的漂移和碰撞两个因素，使（r，k）处的单位体积中在t-dt到t的时间内增加的电子数为n(r，k，t)-n(r，k，t-dt)+(b-a)dt=0，正好平衡。玻尔兹曼方程比较复杂，主要在于碰撞项，为了求解的方便，我们作了一些简化，假定没有外场，也没有温度梯度，如果电子的分布函数离了平衡值，系统就必须依赖碰撞机构使分布恢复到平衡状态时的分布。通常认为可以用弛豫时间描述这个恢复过程，我们写成系统一旦偏离平衡，又没有外场和温度梯度的情况下，系统就不会处在稳定态，它的分布函数f就有弛豫过程决定，所以 （7-10）（7-10）

9、式的解可写成 （7-11）是系统t=0时的分布函数。这表明由于碰撞作用系统以时间常数弛豫回到平衡分布。在后面我们再来讨论在什么情况下可以导出弛豫时间。总之，没有外场或温度梯度，系统不会离开平衡分布；没有碰撞，系统不会从非平衡分布恢复到平衡分布。有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止地漂移；有了碰撞机构，就使漂移受到遏制，被限制在一定的程度而达到稳定的分布，利用和 以及用弛豫时间来描述碰撞项的贡献，玻尔兹曼方程就可写成 （7-12） 7.2 金属的电导率设想均匀的金属晶体处于恒定的温度下，在外电场的作用下形成稳定电流密度j。此时玻尔兹曼方程写成： （7-13）外电场一般总是比原子内部

10、的电场小得多，可认为f偏离平衡分布不大，上式右边就代表这样的偏离，其中的f可近似用代替。所以 （7-14）按照泰勒定理，f又可写成 （7-15）说明在有外场时，分布函数f(k)相当于平衡分布沿电场相反方向刚性移动。图7-2a为等能面是球面的情况下，费密球在电场作用下所发生的刚性移动。由于是能量E（k）的函数，这样，（7-14）式可改写成或 （7-15）表明采用能量坐标来绘制的分布函数f，相当于电子获得能量的平衡分布。如果v的方向同电场方向相反，电子获得加速，能量增大；反之则能量减小。图7-2b中的右边表明了电子获得能量的情形，左边是失去能量的情形。在图7-2a、b中，电场都是自右向左的。知道f

11、的表示式后，就容易计算电流密度：鉴于是k的偶函数，v是k的奇函数，所以 （7-16）图7-3是k空间的两个等能面E和E+dE，它们之间的距离是，取等能面上面积元dS，则图中所示的体积元.由于 而dk又可写成 （7-17）电流密度 其中平衡分布就是费密狄喇克分布而这样，上述积分简化为费密曲面上的面积分 （7-18）如果外电场沿Ox方向，而金属又是立方晶体，此时电流也沿Ox方向。上式写成 （7-19）所以立方晶体的金属电导率 （7-20）由此可见，对金属电导有贡献的只是费密面附近的电子，它们可以在电场作用下进入能量较高的能级。能量比费密能级低得多的电子，由于附近的状态已被电子占据，没有可接受它的空

12、状态，且不可能从电场中获取能量改变状态，故这种电子并不参与电导。所以电导率同弛豫时间和费密面处能级密度有密切关系。如果金属电子的等能面是球面又计及，再利用电子浓度n同费密波矢的关系可得 （7-21a）若是电子的平均自由程，则，电导率可写成 （7-21b）式中是金属电子的费密速度。实验指出，在常温条件下，；而在很低温度下，因此或必须有同样的温度依赖关系。这只能用量子力学对散射机构进行具体分析和计算才能获得了解。 7.3 弛豫时间的统计理论本节讨论在什么条件下能用弛豫时间来描写玻尔兹曼方程的碰撞项。在7.1中已经知道，碰撞项是（7-22）它代表在晶体的单位体积中，由于碰撞进入状态k的电子数b减去碰

13、撞离开k的电子数a。设系统在不加电场，磁场和温度梯度时，处于热平衡状态，此时由k态到k态的跃迁应当同相反的跃迁过程正好平衡，就是说在热平衡条件下应当达到细致平衡，即利用费密-狄喇克平衡分布 的表达式，可得所以，在弹性散射的情况，有这时 （7-23）（7-23）式表明，在弹性散射条件下，碰撞项好象同不考虑泡利不相容原理得到的结果一样。 仿照前两节的作法，讨论系统偏离平衡态不远的情况，则有 （7-24）代入（7-23）式，得到同比较，得到弛豫时间 的统计表示式 （7-25）此式只适用于弹性散射的情况。一般说 （k）是各向异性的，费密面上不同状态的电子其弛豫时间是不一样的。迪.哈斯-范.阿耳芬效应表明铜的费密面不是球面，严格的说铜晶体中电子的弛豫时间应该是各向异性的，若把它当作各向同性的散射，只是一种简化的近似。 如果电子的