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1、复化数值积分由插值的龙格现象可知，高阶牛顿-柯特斯积分不能保证等距数值积分系列的收 敛性，同时可证（略）高阶牛顿-柯特斯积分的计算是不稳定的。因此，实际计算中 常用低阶复化梯形等积分公式。7.3.1 复化梯形积分把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间勺略1上用梯形积分公式，再将 这些小区间上的数值积分累加起来，称为复化梯形公式。复化梯形公式用若干个小 梯形面积逼近积分 比用一个大梯形公式效果显然更好，如图7.4所示。这 种作法使我们想起定积分定义，即它为被积函数无限分割的代数和。这也正是计算 定积分最朴素的算法。图 7.4 复化梯形公式积分视图复化梯形积分计算公式对此圳作等距分割，有，可p+
2、加= 0,1,卫，于是，则有记等分的复化梯形公式为 （刀或只旳，有M-1T(h) = Tn(J)=h ”+工弘+询+尹的7.11)复化梯形公式截断误差比（jm的-迸V） 由山z，根据均值定理，当时，存在，于是7.12)由此看到复化梯形公式的截断误差按照护或者/的速度下降，事实上，可以证明，只要了在 z 上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收 敛到积分心十曲。记心据如，则有I爲卜嘻胚对于任给的误差控制小量 ,有或就有，式中卜表示取其最大整数。7.3.2 复化辛普森积分把积分区间分成偶数等分2枕，记丸=皿，其中+ 1是节点总数，欣是积分子 区间的总数。血=匕 =记，廿直+和用，在每个区
3、间忌，力+訂上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为W复化辛普森积分计算公式而Q）毎钦心-篡心，称 鸟=琴了龟）+4 了為+1）+畑+2）7.13)为复化辛普森积分公式，它是在临，心+訂上采用辛普森积分公式叠加而得。下面用图7.5显示复化辛普森积分计算公式中节点与系数的关系，取 = S,在2h每个积分区间上提出因子五后，三个节点的系数分别是1, 4, 1；将4个积分区间的系数按节点的位置累加，可以清楚地看到，首尾节点的系数是1，奇数点的系数 是 4，偶数点的系数是 2。复化辛普森公式的截断误差设feCa,b，在也肿如上的误差为因此，7.14)与复化梯形公式类似，误差的截断误差按照
4、胪或者产的速度下降。可以证明，只要了在他坊上有界并黎曼可积，当分点无限增多时,复化辛普森公式收敛到，则有对任给的误差控制小量 ，只要迟c/z就有2880s心)=(V必用复化梯形和复化辛普例7.5求 ，计算中要求有5位有效数字。森求积公式的分点应取多少？解： /W =/八对=/4x) =*irwi=i/4)w io xi由复化梯形误差公式得到： 肌力-W) 1片乎M厂占沁士叩计算出=673，复化梯形公式至少要在【.00等分n = 68。由复化辛普森误差公式，有5I耳占在复化辛普森公式中取复化积分的误差公式表明，截断误差随分点挖的增大而减小，对于给定的误差 量用估计函数导数的界的方法可计算出。用误
5、差公式计算满足精度的分点数, |严7.3.3 复化积分的自动控制误差算法上界的微积分习题（如例7.5所示）。但是在实际运像是在做一道计算导数算中，一般难以估计出函数的各阶导数界，也就无法确定分点数挖。在计算中常用误差的事后估计方法，即用估计误差。T2n（f ）的计算公式对定积分，取分点计算得取分点总=2，计算得这里，。可以看到，爲的值是爲与新增分点了氏的组合。取分点=4，计算得（了（兀）+ 了花）同理，计算爲C/）时只要在爲C/）的基础上计算新增分点了（兀）,5 的值再做组合,如图 7.6 所示。/（*z/U）E4/-.u几h“JFjfr一般地,每次总对前一次的小区间分半,分点加密一倍,并可充
6、分利用老分点 上的函数值,每次只需计算新增分点的和。对上起等分,则有记丙用+上的中点为和则7.15)W）冷+比）其中或忌讨+虬爭9+3%）类似地，可得积分节点为，加的辛普森求积公式的关系式:抵=典（刀+右（化心）-比）7.16)其中：由误差公式：心）-爲=-三尹沪八（h-d）（hy厲）m-1 2m-1广=工八知，畑= FL$fc由于心肚Z，分别为“及加个点上的均 值，可视八沪八叭于是上式表明兀(刀的误差大约是爲)误差的4倍。AJ)-爲冷血-石)7.17)由此得到启发，对任给的误差控制量厂，要lTC/)-(/)l，只需 血C/) 一瞪区弘即可，而用|爲心)-兀|作为控制手段简单直接，序列 瞪(力
7、,爲力,在计算机上也不难实现。复化积分的算法描述从数值积分的误差公式可以看到，截断误差随分点兀的增长而减少，控制计算 的精度也就是确定分点数兀。在计算中不用数值积分的误差公式确定分点数挖的理 论模式，而用m-恥、fw-侄作为控制，通过增加分点自动满足精度的方法称 为数值积分公式的自动积分法。即在计算中构造序列芯兀九，直到TTeT1 = T2H=Hn/计算新增节点的值M-l 比p歌）T2= （T1+H ）/2H = h/2 ， n =2n / 将区间一分为二end while4输出积分值 T2。在自动控制误差算法中初始分点值不宜过小，以防假收敛7.3.4龙贝格（Romberg）积分尹emT由前面
8、得到的关系式（7.17），可以将作为 的修正值补充到力，即心）5 + ,抵（/）-兀（刀）=圮-扛 7（7.18）其结果是将梯形求积公式组合成辛普森求积公式，截断误差由提高到。这种手段称为外推算法。外推算法在不增加计算量的前题下提高了误差的精度，是计算方法中一种常用手法。不妨对沐（门用再做一次组合。由得到心八护-存= q（/）7.19)复化辛普森公式组成复化柯特斯公式，其截断误差是（涉）。同理对柯特斯公式进行组合：心）7飞得到具有7次代数精度和截断误差是 时的龙贝格公式:垃=|%刀-存还可以继续对做上去。为了便于在计算机上实现龙贝格算法，将垃,统一用堆_）表示，列 标 n分别表示梯形、辛普森、
9、柯特斯积分，行标表示分点数沪廿或步 长血W2巴。龙贝格计算公式：对每一个匕从2做到疋，一直做到小于给定控制精度停止计算。龙贝格算法龙贝格算法按表7.2元素的行序进行运算，尺m段丄足亠在计算中每个元素 只用到上一行和本行的元素。对上面的算法进一步优化，对每k行可将计算定义在 两行元素之间，令*2*2瓦宀卞、i ；在每计算一行元素后，要将札 鸟j ,j = 1,2,，七表 7.2 龙贝格算法计算元素顺序表d込12,2Ab,1心22心31输入区间端点心上，精度控制值驾循环次数虫，定义函数了，取n = ,h = b - a2.3. for =2 to M2-1隔=+ 敢和 3 + -W)f 2 /hk +少far j = 2 la k傀厂堆w + （Aw -鬆心）用丹-1） 汨弘-鬆41退出循坏
