高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式评估验收卷 新人教A版选修45

第一讲 不等式和绝对值不等式 评估验收卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是(　　) A．a－c＞b－d　　　 B.＞ C．ac＞bd D．c－b＞d－a 解析：a＞b⇒－b＞－a，① c＞d，② ①＋②可得c－b＞d－a. 答案：D 2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为(　　) A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4) C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2) 解析：1＜|x＋1|＜3⇔－3＜x＋1＜－1或1＜x＋1＜3⇔－4＜x＜－2或0＜x＜2. 答案：D 3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由|x－2|＜1解得1＜x＜3.因为“1＜x＜2”能推出“1＜x＜3”，“1＜x＜3”推不出“1＜x＜2”，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件． 答案：A 4．若＜＜0，则下列结论不正确的是(　　) A．a2＜b2 B．ab＜b2 C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b| 解析：法一(特殊值法)　令a＝－1，b＝－2，代入A，B，C，D，知D不正确. 法二　由＜＜0，得b＜a＜0，所以b2＞ab，ab＞a2，故A，B正确. 又由＞1，＞0，且≠，即＋＞2正确.从而A，B，C均正确. 对于D，由b＜a＜0⇔|a|＜|b|. 即|a|－|b|＜0，而|a－b|≥0，故D错. 答案：D 5．不等式|2x－log2x|＜|2x|＋|log2x|的解为(　　) A．1＜x＜2 B．0＜x＜1 C．x＞1 D．x＞2 解析：由题意知 所以log2x＞0，解得x＞1. 答案：C 6．不等式|x|＞的解集为(　　) A．{x|x＞2或x＜－1} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|x＜1或x＞2} D．{x|1＜x＜2} 解析：|x|＞⇒或 解得x＜1或x＞2. 答案：C 7．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：因为2xy＝x·(2y)≤， 所以上式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. 又因为x＞0，y＞0，所以x＋2y≥4. 当x＝2，y＝1时取等号，故选B. 答案：B 8．若实数x，y满足＋＝1，则x2＋2y2有(　　) A．最大值3＋2 B．最小值3＋2 C．最大值6 D．最小值6 解析：由题意知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝时，等号成立，故选B. 答案：B 9．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－∞，－1) 解析：|x－1|＋|x－2|的最小值为1， 故只需a2＋a＋1＜1，所以－1＜a＜0. 答案：B 10．若不等式＞|a－5|＋1对一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．R B．a＞5 C．4＜a＜6 D．4≤a≤5 解析：因为＝|x|＋≥2 ＝2， 所以|a－5|＋1＜2，即|a－5|＜1，所以4＜a＜6. 答案：C 11．若0＜x＜，则x2(1－2x)有(　　) A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 解析：x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤＝. 当且仅当x＝时，等号成立． 答案：B 12．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：由＋＝知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2，即ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”， 所以ab的最小值为2. 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．不等式＜1的解集为________． 解析：因为x≠0，所以|x＋2|＜|x|， 即(x＋2)2＜x2.所以x＋1＜0. 所以x＜－1. 所以原不等式的解集为{x|x＜－1}． 答案：{x|x＜－1} 14．定义运算x⊗y＝若|m－1|⊗m＝|m－1|，则m的取值范围是________. 解析：依题意，有|m－1|≤m，所以－m≤m－1≤m， 所以m≥. 答案： 15．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________． 解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，所以1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，故a≥4. 答案：4 16．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是________． 解析：f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方， 即为|x－2|＞－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立， 即|x－2|＋|x＋3|＞m恒成立． 又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥ |(x－2)－(x＋3)|＝5， 于是得m＜5，即m的取值范围是(－∞，5)． 答案：(－∞，5) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若0＜a＜b＜1，试比较m＝a＋与n＝b＋的大小． 解：m－n＝a＋－＝(a－b)＋＝(a－b)＋， 即m－n＝(a－b)， 而0＜a＜b＜1，则0＜ab＜1，a－b＜0， 所以1－＜0. 所以m－n＞0，即m＞n. 18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值． 解：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则 y＝ 作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象， 它与直线y＝2的交点为(－7，2)和. 所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪. (2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a. (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)； (2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|. 两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0， 解得x≤－1或x≥－. 所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪. (2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|. 令h(x)＝|2x＋1|－|x|， 则h(x)＝ 由分段函数图象可知h(x)min＝h＝－， 从而所求实数a的取值范围为. 20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，其中a∈R. (1)若a＝4，求不等式f(x)≥5的解集； (2)若f(x)≥4对于x∈R恒成立，求a的取值范围. 解：(1)因为a＝4，所以f(x)＝|x－1|＋|x－4|. 当x≤1时，|x－1|＋|x－4|＝－2x＋5， 解不等式－2x＋5≥5，得x≤0； 当1＜x＜4时，|x－1|＋|x－4|＝3，显然f(x)≥5不成立； 当x≥4时，|x－1|＋|x－4|＝2x－5， 解不等式2x－5≥5，得x≥5. 故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}. (2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|(x－1)＋(a－x)|＝|a－1|， 所以f(x)min＝|a－1|. 由题意得|a－1|≥4，解得a≤－3或a≥5. 所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞). 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x＋a|＋(a＞0). (1)当a＝2时，求不等式f(x)＞3的解集； (2)证明：f(m)＋f≥4. (1)解：当a＝2时，f(x)＝|x＋2|＋， 原不等式等价于或或 解得x＜－或x＞， 所以不等式的解集为. (2)证明：f(m)＋f＝|m＋a|＋＋＋＝|m＋a|＋＋＋≥2＝2(|m|＋)≥4. 22.(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元． (1)设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式． (2)当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值． 解：(1)设DQ＝y米，又AD＝x米， 故x2＋4xy＝200， 即y＝. 依题意，得 S＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2 ＝4 200x2＋210(200－x2)＋160 ＝38 000＋4 000x2＋. 依题意x＞0，且y＝＞0， 所以0＜x＜10. 故所求函数为 S＝38 000＋4 000x2＋，x∈(0，10)． (2)因为x＞0， 所以S≥38 000＋2＝118 000， 当且仅当4 000x2＝， 即x＝时取等号． 所以当x＝∈(0，10)时， Smin＝118 000元． 故AD＝米时，S有最小值118 000元． 我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。