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1、2015年高三数学专题-离心率求值或范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活， 关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本专题就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度的常用方法：(1)直接求出 a,c 求解出 e,有时候也要关注定义，如在椭圆中PF1+PF2 =2a, F1F2 =2c,则e = c=_IFLF2J_,同理在双曲线中 e = c = FF2aPF1+PF2aPF1 PF222.2(2
2、)变用公式，整体求出e:在椭圆中e2 =2 = a_=1 aa(3)构造a,c的齐次式，解出e,根据题设条件，借助 a,b,c出关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值。二、求解离心率的范围的方法途径一：借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线目最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a,心率的范围.例1.已知椭圆的中心在 O,右焦点为F ,直线l方程为x =的垂直平分线经过点 F,则椭圆的离心率的取值范围是(A.匡,1)B.；,5 C.叵 J 口 士 ) )2 2 J(假设P在双曲线右支上).222 , , 2,2b2c a +bb,在双曲
3、线中e =f = -l=1+f aaaa之间的关系，构造出 a、c的齐次式，进而得大于或等于直线段、对称的性质中的b,c进行表示，进而得到不等式，从而确定离2a_ _一，若在l上存在点M，使线段OM c)2 X例2.已知椭圆C1 ：-2 ab222. 2= 1(a b 0)与圆C2 : x +y =b ,若在椭圆G上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆 Ci的离心率的取值范围是(A. 1,1) B./“ C.g 1) D.邑1)22222途径二：借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立,的范围等，进一步得到离心率的不等
4、关系式，从而求解例3. （2014江西赣州期末联考）过椭圆22C:二+，=1（a AbA0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C a2 b2于另一个点B ,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若v kv 1,则椭圆的离心率的取值范围是途径三：借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围例4. （2014河南郑州第一次质量预测）已知椭圆C1 ：222y-=1与双曲线C2: +）-=1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为（A .,1) B. (0,C. (0,1)【迁移运用
5、】1.22（15年河南开封定位考试 3）已知双曲线方程 4x 3y =12 ,则双曲线的离心率为B.叵3D.叵22.2 x （14年河南信阳第二次调研3）已知双曲线 一n 4 ny2-=1的离心率为 J2 ,则n的值为A. 2C. 1D.3.（14年河南濮阳第一次模拟4）2x椭圆2+ y =1的一个焦点在抛物线 ay2=4x的准线上，则该椭圆的离心率为B.五24. （14年河南郑州三模5)已知双曲线2xy- y2=1 (a 0)的实轴长为a2,则该双曲线的离心率为DB.D.5. （14年河南新乡三模5)已知a是三角形的最大内角，且1COS2 a =22+ y =1的离心率为B.、3C.1+ .
6、2d . J1+ V3cos：6.（14年河南安阳第一次调研4）若实数2, m, x y8成等比数列，则圆锥曲线 +L=1的离心率为m 2B,亚C.空或、.327.b0）,过双曲线的一个焦点作实轴的垂线交双22x y_(14年河南开封四模 4)已知双曲线 2_- _2 = 1( a 02b2曲线于A、B两点，若uirOA uurOB = 0（O为坐标原点）,则双曲线的离心率 e等于B.8.（14年河南十所名校阶段测试五4）已知椭圆2 x C： a2y卜彳=1的左、右焦点分别为 F1，F2, P为椭圆C b2上一点，若 F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为J2A.29. （14年河南豫
7、南九校仿真模拟）已为双曲线的方程为一二二19 A0/A。），双曲觐的个小点到 条渐近线的距离aL卜,为正C （其中C为双曲线的半焦为长）.为谈双曲线的离心率为 35 D.710. （14年河南洛阳考前综合练二8）已知双曲线的圆点与焦点分别是辅圆 +旨lCb0)的焦点和暝点，若双曲 社 D坡的两条新近线与桶F1的交点构成的四边形恰为正方形用精圆的离心率为 ( )a 遮B.立C -D & 2成 3j 2U 322;双曲线的顶点与焦点分别是椭园上 =l(ab 0)的黑点与顶点 日2小二双曲线的质(士 ja2,b2 r 0) r案触 (a r 0 ) x2 v2设双曲线方程为-=Um0 , n0)m2
8、门2二双曲底的渐近线方程为产-x mvm= Jd2-b,n2=a2-m2=b2 An=b,J双曲线的两条渐近浅与椭国的交点构成的四边形恰为正方形,双曲浅的渐近S昉程为y二 x/,m=nAa2-b2=b2.x2=a2-c2Aa2=2c2一二层 c J2 Ae-= 3 2百D .11. (14年河南洛阳考前综合练 9)已知双曲线三一舌=16。20)以及双曲战专一百=10。10)的渐近埃 将第一象限三等分，则双曲线。一的离心率为)A.2M B.4或孥C. 2就甲 D. 6城渐近线将第一象B艮三等分，渐近线分别是万：3矫口=3/3,倾斜角分别是60、30XW 能-yWb*1的渐近线是y=b/axp/a
9、fz/xK的渐近线是V二土a/Ux.b/a=3Hga/b=3,x/a-yDa=1离心率=2或2、3.312. （14年河南中原名校第二次联考）/ V2.已知双曲线0）与抛物丁 =8x有公共的焦点F,它们在笫一象限内的交点为时，若双曲线的离心率为3则|MF|二（）A. 2 B. 3 C 276 D. 512. （14年河南南阳第三次模拟8）己知抛物线y2 =4 J3x的准线与双曲线24=1两条渐近线分别交 b2于A, B两点，且| AB | = 2,则双曲线的离心率 e为A. 24B.一3C.拒D.2.332213. （ 14年河南考前保温调研卷 9）已知双曲线三-22=1（aA0,bA0）的一
10、条渐近线与圆 a b（x-3 2 +y2 =8相交于A,B两点，且| AB =4,则此双曲线的离心率为B.5.3C.3x5解：依题意可知双曲线的一新近线方程为bx-a产0,- |AB|=4*圆的半径为2，圆心到新近线的距离为2，3占2即I r 2，解得b二干技二双曲绫的离心率为巳二三二哑.4 5故选：C.、,2 、,2,、14. （14年河南顶级名校押题四）已知双曲线x2 _y2 =1 （ a0, b0）的渐近线与直线 x=1交于A、B两点，Oa2 b2为坐标原点.若 AOB的面积为J3 ,则双曲线的离心率为A.1 B. 3C.2D.3222b0）相交于A、B、C、D四x y一15. （14年
11、河南开封二模 8）存在直线x= m与双曲线 二一二=1 （a。a2b2点，若四边形 ABCD为正方形，则双曲线离心率的取值范围为a.（72, +8）b.（73, +oo） c.（1, 72）d.（1, 73）选C因为ABCDg正方形，所以渐近线度中b/a1贝ijbaT/cA2=aA2+t）A2；q42 ae=c/a/.e0, b0）的左、右两个焦点，P是a bC上一点，若| PF1 I + I PF2 I = 6a,且4 PF1F2的最小内角为30 ,则双曲线 C的离心率为A. V3 + 1B.囱C. V2D. V3-1因为匕是双曲浅的两个焦点r P是双曲浅上一点r且满足|PFi|+|PFn|
12、=6日，K妨设P是双曲浅右支上的一点,由双曲浅的定义可知|PFi|-|PF2l=2a|FlF2|=2c JPFil=4af |PF2|=2ar-PFiFz的最小内角/PFFz=301,.|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2|F1F2|PF1|coszPF1F2rBP4a2=4c2+16a2-2c孑50）的一条谯近线与胭+八43=0粕切.则双曲线的离心率 等于A Aa 2C/IL 芈318. （14年河南仿真密卷二）口睛过取福雄捺营=1的石殛点4作斜率A I的忌捱与两条渐近线R上面下分别交于点RC.若4C,B的横里标成等比数列.刚读取曲雄的离心率是。，b。）的右支父于 A2 b2B两点，且直线 AB过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为A.&B. 73C. 2D. 320. （14年河南六市第一次联考11）已知F1，F2分别是双曲线2X2a2-匕=
