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1、刚体的运动学与动力学问题练习1. 如图 14 14 所示,一个圆盘半径为R ,各处厚度一样,在每个象限里,各处的密度也是均匀的,但不同象限里的密度则不同,它们的密度之比为1: 2:3 :4 1: 2: 3: 4,求这圆盘的质心位置yZ1Z2P213xRQ42R图 14 14图 14 15图 14162. 如图1415 所示,质量为m 的均匀圆柱体,截面半径为R ,长为2 R 试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴( 如图中的Z1 、 Z2 ) 的转动惯量J .3. 如图14 16 所示,匀质立方体的边长为a ,质量为m 试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J 4. 椭圆细环的半长轴为A ,半短
2、轴为B ,质量为m ( 未必匀质) ,已知该环绕长轴的转动惯量为JA ,试求该环绕短轴的转动惯量JB 5. 如图 14 17 所示矩形均匀薄片 ABCD 绕固定轴 AB 摆动, AB 轴与竖直方向成30 角,薄片宽度ADd ,试求薄片做微小振动时的周期.BBC=30ChAhAAB图 1417图 14 18图 14 196. 一个均匀的薄方板,质量为M ,边长为 a ,固定它的一个角点,使板竖直悬挂,板在自身的重力作用下,在所在的竖直平面内摆动在穿过板的固定点的对角线上的什么位置( 除去转动轴处) ,贴上一个质量为m 的质点,板的运动不会发生变化?已知对穿过板中心而垂直于板的轴,方板的转动惯量为
3、J1 Ma 2 .67. 如图 14 18 所示,两根等质量的细杆 BC 及 AC ,在 C 点用铰链连接,质量不计,放在光滑水平面上,设两杆由图示位置无初速地开始运动,求铰链C 着地时的速度8. 如图 14 19 所示,圆柱体 A 的质量为 m ,在其中部绕以细绳, 绳的一端 B 固定不动,圆柱体初速为零地下落,当其轴心降低h 时,求圆柱体轴心的速度及绳上的张力.9. 如图 14 20 所示,实心圆柱体从高度为h 的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上,继续纯滚动, 与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回,经足够长的水平距C0h离后重新做纯滚动, 并纯滚动地爬上斜坡, 设地面与圆vC 0柱体之间的摩
4、擦系数为,试求圆柱体爬坡所能达到的图 14 20高度 h 10. 在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽,螺距为s ,螺帽的转动惯量为J ,质量为 m . 假定螺帽与螺杆间的摩擦系数为零,螺帽以初速度v0 向下移动,螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系 ?这是什么样的运动?重力加速度为g 11. 在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球,其一做纯滚动,质心速度v ,另一静止不动, 两球做完全弹性碰撞, 因碰撞时间很短, 碰撞过程中摩擦力的影响可以不计试求:(1) 碰后两球达到纯滚动时的质心速度;M , l(2) 全部过程中损失的机械髓的百分数12.如图 14 21 所示,光滑水平地面上静止地放着质量
5、为M 、v图 14 21m长为 l 的均匀细杆质量为m 的质点以垂直于杆的水平初速度v0与杆一端做完全非弹性碰撞. 求 (1) 碰后系统的速度及绕质心的角速度,(2)实际的转轴 ( 即静止点 ) 位于何处 ?13.如图 14 22 所示,实心匀质小球静止在圆柱面顶点,受到微扰而自由滚下, 为了令小球在 45范围内做纯滚动,求柱面与球间摩擦因数至少多大 ?14.如图 14 23 所示,半径为 R 的乒乓球,绕质心轴的转动惯量J2mR2 , m 为乒乓3球的质量,以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动,开始时球的质心速度为vC 0 ,初角速度为 0 ,两者的方向如图 已知乒乓球与地面间的摩擦因数为.
6、 试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.0vC0R乒乓球O图 14 24图 1422图 14 2315. 如图 14 24 所示,一个刚性的固体正六角棱柱, 形状就像通常的铅笔, 棱柱的质量为 M ,密度均匀横截面六边形的边长为a 六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量J 5 Ma 2 相对于棱边的转动惯量是J 5 Ma 2 . 现令棱柱开始不均匀地滚下斜面假设1212摩擦力足以阻止任何滑动,并且一直接触斜面某一棱刚碰上斜面之前的角速度为i ,碰后瞬间角速度为f,在碰撞前后瞬间的动能记为Eki 和 Ekf 试证明fsi , EkfrE ki ,并求出系数s 和 r的值参考答案1.先
7、确定一半径为 R 的 1/4 圆的匀质薄板的质心,如图答 141 所示,在 xOy 坐标 中,若 质心 坐标为 ( xc , y c ) ,由对称性知 xc=yc,则根据质心的等效意义,有R2nxclim Rcos(i)Rcos(i) Rsin(i)4xi 12n2n2n2nxcRlim1)sin(i )R43sin 3(ilim34n2 xn2n2n2 xsinn) sinn 1)(4R .422n22n 4nsin()34n针对本题中圆盘各象限密度不同有下列方程yi R2nOx图答 14 1R3 limsin 3(i) sin(i ) ,于是有x8n2n2nn3n13sin() sin()
8、22n322 nsin( )4nR2( 1234 )xcR2( 1234 )4R ,443R2( 1234 ) ycR2( 1234) 4R,443解以上方程得xc0 , yc8R . 故质心坐标为8R ).15(0,152. 如图答 14 2所示,对图中所示的Z1、 Z2 、 Z 坐标系与 Z3、 Z4 、 Z 坐标系运用正交轴定理,有J1J2JJ3J4 J ,其中 J31mR2 , J47mR2 , 由对称等效可知13 mR .212J1J22243. 如图答 14 3所示,将立方体等分为边长为a 的八个小立方体,每个小立方体体对2角线到大立方体体对角线距离1263 用量纲分析法求解有daa ,依照本专题例236kma2m a26m a)2m a)2,所以有1,1 2.2k()( )k()()(kJma82828666QZ1Z 4Z 2OZ3RZ32dO图答 14 2C图答 1434. 由正交轴定理 J AJ Bmi (xi2yi2 ) 及椭圆方程x2y21 , 得