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1、刚体的运动学与动力学问题练习1. 如图 14 14 所示，一个圆盘半径为R ，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为1： 2：3 ：4 1: 2: 3: 4,求这圆盘的质心位置yZ1Z2P213xRQ42R图 14 14图 14 15图 14162. 如图1415 所示，质量为m 的均匀圆柱体，截面半径为R ，长为2 R 试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴( 如图中的Z1 、 Z2 ) 的转动惯量J .3. 如图14 16 所示，匀质立方体的边长为a ，质量为m 试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J 4. 椭圆细环的半长轴为A ，半短
2、轴为B ，质量为m ( 未必匀质) ，已知该环绕长轴的转动惯量为JA ，试求该环绕短轴的转动惯量JB 5. 如图 14 17 所示矩形均匀薄片 ABCD 绕固定轴 AB 摆动， AB 轴与竖直方向成30 角，薄片宽度ADd ，试求薄片做微小振动时的周期.BBC=30ChAhAAB图 1417图 14 18图 14 196. 一个均匀的薄方板，质量为M ，边长为 a ，固定它的一个角点，使板竖直悬挂，板在自身的重力作用下，在所在的竖直平面内摆动在穿过板的固定点的对角线上的什么位置( 除去转动轴处) ，贴上一个质量为m 的质点，板的运动不会发生变化?已知对穿过板中心而垂直于板的轴，方板的转动惯量为
3、J1 Ma 2 .67. 如图 14 18 所示，两根等质量的细杆 BC 及 AC ，在 C 点用铰链连接，质量不计，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C 着地时的速度8. 如图 14 19 所示，圆柱体 A 的质量为 m ，在其中部绕以细绳， 绳的一端 B 固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h 时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力.9. 如图 14 20 所示，实心圆柱体从高度为h 的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动， 与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距C0h离后重新做纯滚动， 并纯滚动地爬上斜坡， 设地面与圆vC 0柱体之间的摩
4、擦系数为，试求圆柱体爬坡所能达到的图 14 20高度 h 10. 在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽，螺距为s ，螺帽的转动惯量为J ，质量为 m . 假定螺帽与螺杆间的摩擦系数为零，螺帽以初速度v0 向下移动，螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系 ?这是什么样的运动?重力加速度为g 11. 在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度v ，另一静止不动， 两球做完全弹性碰撞， 因碰撞时间很短， 碰撞过程中摩擦力的影响可以不计试求：(1) 碰后两球达到纯滚动时的质心速度；M , l(2) 全部过程中损失的机械髓的百分数12.如图 14 21 所示，光滑水平地面上静止地放着质量
5、为M 、v图 14 21m长为 l 的均匀细杆质量为m 的质点以垂直于杆的水平初速度v0与杆一端做完全非弹性碰撞. 求 (1) 碰后系统的速度及绕质心的角速度，(2)实际的转轴 ( 即静止点 ) 位于何处 ?13.如图 14 22 所示，实心匀质小球静止在圆柱面顶点，受到微扰而自由滚下， 为了令小球在 45范围内做纯滚动，求柱面与球间摩擦因数至少多大 ?14.如图 14 23 所示，半径为 R 的乒乓球，绕质心轴的转动惯量J2mR2 ， m 为乒乓3球的质量，以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为vC 0 ，初角速度为 0 ，两者的方向如图 已知乒乓球与地面间的摩擦因数为.
6、 试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.0vC0R乒乓球O图 14 24图 1422图 14 2315. 如图 14 24 所示，一个刚性的固体正六角棱柱， 形状就像通常的铅笔， 棱柱的质量为 M ，密度均匀横截面六边形的边长为a 六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量J 5 Ma 2 相对于棱边的转动惯量是J 5 Ma 2 . 现令棱柱开始不均匀地滚下斜面假设1212摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面某一棱刚碰上斜面之前的角速度为i ，碰后瞬间角速度为f，在碰撞前后瞬间的动能记为Eki 和 Ekf 试证明fsi ， EkfrE ki ，并求出系数s 和 r的值参考答案1.先
7、确定一半径为 R 的 1/4 圆的匀质薄板的质心，如图答 141 所示，在 xOy 坐标 中，若 质心 坐标为 ( xc ， y c ) ，由对称性知 xc=yc，则根据质心的等效意义，有R2nxclim Rcos(i)Rcos(i) Rsin(i)4xi 12n2n2n2nxcRlim1)sin(i )R43sin 3(ilim34n2 xn2n2n2 xsinn) sinn 1)(4R .422n22n 4nsin()34n针对本题中圆盘各象限密度不同有下列方程yi R2nOx图答 14 1R3 limsin 3(i) sin(i ) ，于是有x8n2n2nn3n13sin() sin()
8、22n322 nsin( )4nR2( 1234 )xcR2( 1234 )4R ，443R2( 1234 ) ycR2( 1234) 4R，443解以上方程得xc0 ， yc8R . 故质心坐标为8R ).15(0,152. 如图答 14 2所示，对图中所示的Z1、 Z2 、 Z 坐标系与 Z3、 Z4 、 Z 坐标系运用正交轴定理，有J1J2JJ3J4 J ,其中 J31mR2 , J47mR2 , 由对称等效可知13 mR .212J1J22243. 如图答 14 3所示，将立方体等分为边长为a 的八个小立方体，每个小立方体体对2角线到大立方体体对角线距离1263 用量纲分析法求解有daa ，依照本专题例236kma2m a26m a)2m a)2，所以有1，1 2.2k()( )k()()(kJma82828666QZ1Z 4Z 2OZ3RZ32dO图答 14 2C图答 1434. 由正交轴定理 J AJ Bmi (xi2yi2 ) 及椭圆方程x2y21 , 得
