《(交叉分配系数)向量与三角形内心、外心、重心、垂心》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(交叉分配系数)向量与三角形内心、外心、重心、垂心（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量与三角形的重心、垂心、内心外心的关系(欧拉线的介绍)四心的概念介(1) 重心中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相 等。二、四线与向量的结合1定理：如图，设隹=入鬲+入面,PRPA则入+2=b且人二二AB AB(记忆:交叉分配系数)2若M是0P上的任意一点，则0M=2(OA(记忆:分母对应分配系数)应用1:(1)中线:C应用2.四线上的动点表示:中线上的动点：几（盘+疋）或期lABIsinB
2、高线上的动点:兄（ACAC|cosC),角平分线上的动点：兄（AB AC.（4）中垂线上的动点：OP =oB+oC2+乂(+-/CI AB I cos B I ACIcosC),三、四心与向量的结合1.定理：设O是AABCft任意一点，则疋勿 + SocOB + Snop OC = 6（记忆：拉力平衡原则）应用:(1) 0是AABC的重心 OSaboc： Saa()c： Smob ：=1：1：1o OA + OB + OC = 0(2) O 为 AABC 的垂心.0 SAB)c-： SAAOC- SOB tail A： tail B：tail C tail AOA + tan BOB + ta
3、n COC = 6o为AABC的内心 OSoc： Sgg： SU)B = a： b： c =sinA:sinB:sinC sinAOA +slnBOB +sinCOC = 0 o aOA + bOB + cOC = 0（4） O为AABC的外心SSMOB = sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C sln2AOA + sln2BOB + sln2COC = 6(1)2 四心的向量表示: PO = j-(PA + PB + P)OAOB = OBOC = OCOAg =祝码任（逼卫）=。CA CBo为辺C的内心.o如矿二5（話云A. 夕卜心
4、、B. 内心C. 重心D. 垂心O为A4BC的外心 O网=阿=冈四典型例題: 一、与三角形“四心”相关的向问题题1:已知o是平面上一定点，A B. C是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP = OA + ,2e0,+co）.则P点的轨迹一定通过AAEC的题2:已知O是平面上一定点，A、E、C是平面上不共线的三个点，动点P满足帀=鬲+兄（亦+走），2g0,-ko）.则P点的轨迹一定通过ZABC的（）A. 夕卜心B内心C.重心D.垂心题3:已知O是平面上的一定点，A. B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足耳跖瓜船+简詁S,则动点P的轨迹一定通恥ABC的A. 重心B. 垂心C. 夕卜心D.
5、内心题4:已知O是平面上的一定点，A. B. C是平面上不共线的三个点，动点P满足丽0+2（需爲+謠则动点P的轨迹-定通过A ABC 的（ ）A. 重心B. 垂心C.外心D.内心题5:已知O是平面上的一定点，A. B. C是平面上不共线的三个点，动点p满足op=ADAC（尿盂r简就）心心）则动点p的轨迹一定通过AAEC的（A. 重心B. 垂心C. 夕卜心D.内心题6：三个不共线的向量辭满足內爲篦）=叭豁爲） 佞篙悟）7则。点是2眈的（）A.垂心B.重心C.内心 D.外心题7:已知。是厶ABC所在平面上的一点，若OA+OB+OC=0,则O点是 A ABC 的（）A.外心B.内心C.重心 D.垂心
6、题8:已知。是厶ABC所在平面上的一点，若PO = PA + PB + PC） 中P 为平面上任意一点），则o点是AAEC的（）A.外心B.内心C.重心 D.垂心题9：已知o是AAEC所在平面上的一点，若oa ob = ob oc = oc oa9则O点是 ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心题10:已知O为AABC所在平面内一点，满足I刃|2 + IBCP=IOB2 CA2 =ioci2+iaSi2, 则O点是 ABC的（）A.垂心B.重心C.内心 D.夕卜心题11：已知O JAABC所在平面上的一点，若（OA + OB） AB = （OB + OCyBC =（OC + OA） CA
7、= 0,则O点是）A.外心B.内心C.重心D.垂心题12:已知O MAABC所在平面上的一点，若aOA+bOB+cOC= 0,则O点是 ABC的（）A.夕卜心B. 内心C. 重心D. 垂心“ I（其中P题13:已知O是MEC所在平面上的-点，若心严 是AAEC所在平面内任意一点），则O点是 ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心题14: A ABC的外接圆的圆心为O,两边上的高的交点为H,OH = m（OA + OB + OC）,则实数 H1 =.二、与三角形形状相关的向量间题题15:已知非零向量而与疋满足（鴿+話屈=。且鴿需冷, 则厶ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C
8、. 等腰非等边三角形D.等边三角形题16:已知O为AABC所在平面内一点，满足 OB-OC= OB + OC-2OA, 则厶ABC 定是（）A.等腰直角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等边三角形题 17:已知 ABC,若对任意teR9 BA-tBCAC9 贝ABC( )A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定题18:已知自,b, c分别为 ABC中上A, ZB, /C的对边，GAABC 的重心，且a GA + b-GB + c GC= 0,则厶ABC为( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、与三角形面积相关的向童问题题19：已知点O是AAEC内一点，OA + 2OB + 3OC=0,贝I：(1) AAOB与AAOC的面积之比为；(2) A ABC与厶AOC的面积之比为;(3) A ABC与四边形ABOC的面积之比为四、向量的基本关系(共线)题20:如图，已知点G是AAEC的重心若西过A ABC的重心，记冯=2,而=b CP = ma , C0= nb ,贝!-+-=.m n练习.O为A4BC平而上一定点，该平而上一动点满足M=PIO” = O久+ 几(丝sinC+芒sinB)，A0,则 AASC的()一定属于集合M (A) 重心(B) 垂心(C) 外心(D) 内心
