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1、河南理工大学本科毕业设计（论文）外文文献资料翻译 院（系部） 数学信息科学学院 专业名称 数学与应用数学 年级班级 2009级01班 学生姓名 闻晶晶 学生学号 310911010108 2013年6月3 日一类负相伴随机阵列部分和的精致大偏差 汪世界 王伟 王文胜 （安徽大学数学科学院，合肥，230039） （华东师范大学金融统计学院，上海，200241）摘要本文在一些适当的条件下得到了多风险模型中负相伴随机阵列的精致大偏差，推广了一些已知的结果，同时表明在多风险模型中负相伴结构对精致大偏差同样不具有敏感性.关键词：负相伴随机阵列，大偏差，一致变化尾学科分类号：O212.3.1. 引言近年来
2、，很多学者都总结出重尾分布和的精致大偏差，因为用大偏差概率的损失过程来描述破产概率的估计，是一个非常重要的目标风险管理.为此，我们参阅了一些最新文献，如Ng et al.(2004)，Tang（2006），Wang et al.(2006)，Liu,(2007)，Chen and Zhang（2007），,Yang et al.（2009），Liu(2009)等.然而，他们只研究单一类型的风险，即他们总是假定保险公司只提供一种保险合同.在实际生活中，这种假设是不存在的，所以，研究多风险模型的大偏差问题是很有价值的.为此，Wang and Wang（2007）首次把精致大偏差的相关结论扩展到独立
3、索赔多风险模型中.显然，Wang and Wang（2007）的独立性假设是极其不符合现实的.Alam and Saxena（1981）及Joag-Dev and Proschan（1983）中介绍到这种较弱的结构是负相关的.定义1.1 d是正整数，是有限的实值随机变量.我们称一维随机变量是负相伴的，如果对任意两个不相交的非空子集都成立其中和是任意两个使得协方差存在且对任意变量都增加的函数.在本文中，我们称是NA序列，其中，表示关于i的同分布损失函数，满足，.我们同样可以假定，对任意，如果满足 或 ，我们说分布函数F属于重尾子集C，其中分布函数F具有一致变化尾.Cline et al.（199
4、4）也曾研究过重尾子集C，他称其为中间正规变量.另一个著名的重尾子集被称为控制变量集（D族）. 一个分布函数F支撑在上且属于D，当且仅当对任意（或某些），成立.对于像R，S，L等其他重尾子集的更多细节，参考文献Ng et al.（2004）或者Wang and Wang（2007）.集合 ，其中，.在Tang（2006）的专业用语中，被称为F的上 Matuszewska指数.是k正整数序列.为方便起见，令，.是一列关于索赔次数的独立非负整数计数过程，我们假定和是相互独立的，且当时，.令，Tang(2006)研究了带有一致变化尾的负相伴随机变量和的精致大偏差，Chen et al.（2007）和
5、Liu（2007）把Tang（2006）的研究结果扩展到负相伴随机变量的随机和，它们各自具有一致变化尾.在本文中，我们研究多风险模型中的负相伴随机阵列部分和的精致大偏差.我们对一些已知的结论进行推广，发现在多风险模型中精致大偏差的渐近同样呈现负相伴结构.后面的章节安排如下：在第二节中，我们介绍一些预备知识，主要的结果和证明将在第三章节给出，第四章将会给出一个应用程序的主要结果.2预备知识在这一章节，我们按照惯例用符号，以及表示 .显然，如果，那么，对任意，.这在Tang and Yan（2002）中同样也可以看到.下面我们给出一些证明定理的引理，引理2.1是对Joag-Dev和Proschan
6、(1983)的轻微调整.引理2.1 设为一NA随机变量序列，为的任意一列两两不交子集.如果为对每个分量不降（或不增）函数，仍为NA序列，且对任意以及，有以及引理2.2 设是一列同分布的NA随机变量，共同发布，期望为 ，且如果存在某，使得，.则对任意给定的常数，当时，对一致地有对一致成立，即 .证明：由于为NA序列，根据定义，同样是NA序列.由Tang（2006）的引理2.3得，对任意，必存在某正常数与C，使得对任意，有 . (2.1) 显而易见，对任意给定的，则当时，有；对于较大的x， .在（2.1）中，利用条件，我们得到 .从而引理2.2证毕. 注1（1）在引理2.2的证明中，对任意，用替换
7、，当时， （2.2） 对一致成立.（2） 设是负相伴序列，且满足定理2.2 的条件.我们可以用数学归纳法证明，对任意，当时， （2.3）对所有一致成立.事实上，对和任意，由引理2.1,引理2.2和负相伴性质，有 （2.4）因此，（2.3）可以直接由（2.4）用归纳假设证出.3 主要结论及其证明定理3.1 设为NA随机阵列，对任意具有相同的分布，有限期望为，且满足.为任意给定的个正整数，如果对任意的，存在某使得.则对任意给定的，对所有的，当时，有 , （3.1）对所有一致成立.注2 假定所有是同分布函数，那么(3.1)可以推出Tang(2006)的定理1.1.特别的，如果我们已知是非负随机变量序
8、列，很容易可以验证定理3.1的条件一定成立.因此，（3.1）验证Liu(2007)的定理2.1.如果是独立随机阵列，由(3.1)推出Wang and Wang(2007)的引理3.1.证明 我们用数学归纳法证明(3.1).当时，首先，显然有 . （3.2） 注意，对任意，任意， . （3.3）先估计,注意到， . （3.4）由Tang（2006）定理2.1得，对任意，当时， . （3.5）又，则更有成立，由引理2.2，对一致的有，.综合以上各式，对充分大的， （3.6）对一致成立.同理亦有对充分大的，.对一致成立.最后我们估计，由于为NA，则由Wang and Wang(2007)得， （3.
9、7）注意到是NA，也是NA.因此，由Tang(2006)的引理2.1和（3.11）得， （3.8）联合(3.3)-(3.8)得，当时，对一致地有， 此外，令，我们得到(3.2).下面，我们再证 . （3.9）任意给定以及，由NA性质、引理2.1和Tang（2006）的定理2.1,有， （3.10）从而（3.9）成立.这样（3.1）对时成立.假定（3.1）对时成立，下面往证结果对k时也成立.我们采用类似（3.3）的分解法，可得到 由NA性质，注1和归纳假设得， . （3.12）另一方面，利用归纳假设表明， （3.13）结合（3.12）（3.13），定理证明成立.定理3.2 设为一负相伴随机阵列，
10、对，具有相同的分布，期望为，且满足，如果对任意的，存在某使得.再令为一列相互独立的非负正整数值计数过程 ，且与相互独立.如果满足：对任意，均存在，当时，使得 . （3.14）则对任意固定的，当时，有 （3.15）对一致成立.注3 如果假定所有的为同一分布，则由（3.15）可推出Chen和Zhang定理1.2.特别地，如果我们假定是非负随机变量序列，可以很轻易的看出满足定理3.2的条件.所以，（3.15）验证了Liu（2007）定理2.2.如果假定是一列相互独立的序列，可由（3.15）证出Wang和Wang（2007）的定理4.1.证明 我们仍然采用数学归纳法证明本定理的结论，其证明思路与定理3.1完全相同，为简洁起见，这里我们只证明情形.为此，我们首先证 . （3.16）同理，对任意以及，
