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1、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三
2、线合一）如图，已知空间四边形中，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 证明：（1） 同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,求证：面证明： 又面 面 又面 图2例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点，且，点是线段的中点.求证：平面.证明：所在平面，是的弦，. 又是的直径，是直径所对的圆周角，. 平面，平面. 平面，平面，. ，点是线段的中点
3、. ,平面，平面. 平面. 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，AEBD，CBCDCF. 求证：BD平面AED；证明因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.例7
4、、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影练习；1、 如图在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：APBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.证明：DC1BC。3如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱中，若AB=2，求点A到平面的距离。5、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面
5、ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PAAD.求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD. .6、如图759(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB.(2)求证：A1FBE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断： （1）
6、如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 证明：（1） 同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已
7、知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,求证：面证明： 又面 面 又面 图2例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点，且，点是线段的中点.求证：平面.证明：所在平面，是的弦，. 又是的直径，是直径所对的圆周角，. 平面，平面. 平面，平面，. ，点是线段的中点. ,平面，平面. 平面. 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，AEBD，CBCDCF. 求证：BD平面AED；证明因为四边形ABCD是等腰梯
8、形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影练习；1、 如图在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，
9、垂足O落在线段AD上.证明：APBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.又DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC.3如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积(1)证明：在ABD中，AB2，AD4，DAB60，设F为AD边的中点，连接FB，AB
10、F为等边三角形，AFB60，又DFBF2，BFD为等腰三角形FDB30，故ABD90.ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.(2)【解析】由(1)知ABBD，CDAB，CDBD，从而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDBDE2.AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD.而AD平面ABD，EDAD，SADEADDE4.综上，三棱锥EABD的侧面积S82.4、在正三棱柱中，若AB=2，求点A到平面的距离。6 如图
11、所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PAAD.求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD. 证明(1)PA底面ABCD，CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，CD平面PAD，CDPD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又G、F分别是PD、PC的中点，GF綊CD，GF綊AE，四边形AEFG是平行四边形，AGEF.PAAD，G是PD的中点，AGPD，EFPD，CD平面PAD，AG平面PAD.CDAG.EFCD.PDCDD，EF平面PCD.6、如图759(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为
12、线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB.(2)求证：A1FBE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.2分又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.4分(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.6分又A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.9分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1D
