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1、2011高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1。（1)求的值; (2)求证:。解析：(1）因为，所以 (2)因为，所以奇巧积累：(1） （2) （3） （4) （5） （6) （7） (8) (9) (10） (11) （11） （12） （13) （14） (15) (15) 例2
2、。（1)求证:（2)求证: (3）求证:(4) 求证：解析:（1)因为，所以 （2) （3）先运用分式放缩法证明出，再结合进行裂项,最后就可以得到答案 （4)首先，所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证:解析: 一方面： 因为,所以 另一方面: 当时，,当时，,当时,所以综上有例4.(2008年全国一卷）设函数。数列满足。.设，整数.证明：.解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列， 故 若存在正整数， 使， 则,若,则由知，因为,于是例5.已知,求证： . 解析:首先可以证明： 所以要证 只要证: 故只要证，即等价于,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.例
3、6.已知,，求证：。解析：所以 从而例7。已知,，求证：证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8。求证:。 解析:先构造函数有，从而cause所以 例9。求证：（1) 解析:构造函数，得到，再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式： ，例10。求证：解析：提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图，取函数，首先:，从而，取有,，所以有,，,相加后可以得到： 另一方面，从而有取有,，所以有，所以综上有例11。求证:和。解析：构造函数后即可证明例12。求证： 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式：(加强命题)例13.证明: 解析：构造函数，求导,可以得到： ，令有
4、，令有, 所以，所以,令有， 所以，所以例14. 已知证明。 解析： ,然后两边取自然对数，可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:。于是,即注：题目所给条件（）为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例16。(2008年福州市质检)已知函数若 解析：设函数函数）上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令则例15.（2008年厦门市质检） 已知函数是在上处处可导的函数，若在上恒成立。 (I）求证：函数上是增函数； (II)当; (III）已知不等式时恒成立,求证：解析：(I）,所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数，所以 两式相加
5、后可以得到 （3) 相加后可以得到: 所以令，有 所以(方法二) 所以 又,所以三、分式放缩 姐妹不等式：和 记忆口诀”小者小，大者大” 解释:看b,若b小，则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式：和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得即例20.证明:解析： 运用两次次分式放缩： （加1) (加2） 相乘，可以得到： 所以有四、分类放缩 例21.求证： 解析： 例22。(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中， 轴正半轴上的点列与曲线（0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,。(1）证明4，； （2)证明有，使得对都有。 解析:（1） 依题设有
6、：，由得: ,又直线在轴上的截距为满足显然，对于，有 （2)证明：设,则设,则当时,。所以，取，对都有：故有成立.例23。（2007年泉州市高三质检） 已知函数，若的定义域为1,0,值域也为1，0。若数列满足，记数列的前项和为,问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析：首先求出,，,故当时,因此，对任何常数A,设是不小于A的最小正整数，则当时，必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.例24.（2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为。设, 当时，求证:. 解析：容易得到,所以，要证只要证，因为,所以原命题得证五、迭代放缩例25. 已知，求证:当时, 解析：通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例26。 设,求证：对任意的正整数k,若kn恒有:Sn+kSn|0，求证：解析： 因为a+b=1,a0,b0，可认为成等差数列，设，从而例47.设，求证。解析： 观察的结构，注意到,展开得，即,得证。例48.求证：。 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例42.（2008年北京海淀5月练
