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1、word第十八周 面积计算一专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究条件，并加以深化，再运用我们已有的根本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通条件与所求问题的小“桥，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进展恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。图形面积简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面
2、积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 44 16格；右图是 35的长方形，它的面积是 35 15格.上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 542 10格；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4428格.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5 3 15格；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是4+74222格.上面面积计算的单位用“格，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格
3、就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成假设干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底高2.这个公式是许多面积计算的根底.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？解：三角形ABD与三角形ADC的高一样.三角形ABD面积=4高2.三角形 ADC面积=2高2.因此三角形ABD的面积是三
4、角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC 2 4 2 8.三角形 ABC面积= 8 4216.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高一样，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 1644.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，
5、求它的内部阴影局部面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影局部高都与BE一样长.FEBE2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形阴影局部面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20122120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这假设干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形阴影局部的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个
6、角是直角，那么四边形ABCD阴影局部的面积是多少？解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4102 20.对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此面积=78228.四边形 ABCD面积= 20 28 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE3，DF2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE面积=362 9.三角形 BCF面积= 66-2
7、2 12.三角形 DEF面积=26-32 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF面积=66-9-12-312.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如如下图，M是线段DE的中点，求四边形ABMD阴影局部的面积.解：四边形ABMD中，的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7227.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7
8、23.5.因为 BE 8是 CE 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是414.长方形 ABCD面积=782=70.四边形 ABMD面积=70-7- 14 49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角90度，还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图a.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图b.一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图a知，它的面积是直角边长的平方2.当知道它
9、的斜边长，从图b知，它的面积是斜边的平方4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是88232.这一个图形的面积是3216 8 4 21 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影局部的总面积是多少？解：为了说明的方便，在图上标上英文字
10、母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2222.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积24.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积21.阴影局部的总面积是 415.例9 如右图，一个四边形ABCD的两条边的长度AD7，BC3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45，角D是90，角E是180-45-90 45，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也
11、是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即772-33220.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 1115的长方形内，有四对正方形标号一样的两个正方形为一对，每一对是一样的正方形，那么中间这个小正方形阴影局部面积是多少？解：长方形的宽，是“一与“二两个正
12、方形的边长之和，长方形的长，是“一、“三与“二三个正方形的边长之和.长-宽 =15-114是“三正方形的边长.宽又是两个“三正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-423.中间小正方形面积=33 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地见图，剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们道长-宽=1米.还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？如果能求出，那么与上面“差的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能
13、算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如如如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：4+11 64平方米.64是88，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的长+宽=8米.因此长=812 4.5米.宽=8-4.53.5米.那么划出的长方形面积是14. 5平方米.例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG阴影局部的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它
14、的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=小正方形边长+大正方形边长大正方形边长2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=小正方形边长+大正方形边长，因此三角形ADG面积=小正方形边长+大正方形边长大正方形边长2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影局部面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 66218.十分有趣的是，影阴局部面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形如右图，求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的
