《三重积分的计算方法与例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三重积分的计算方法与例题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：z2如果先做定积分f ( x, y, z)dz ，再做二重积分F ( x, y)d ，就是“投z1D影法 ”，也即“先一后二” 。步骤为：找及在 xoy 面投影域 D。多 D上一点（ x,y）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。z2f (x, y, z)dvf (x, y, z)dzdDz1c2如果先做二重积分f ( x, y, z)d再做定积分F (z)dz ，就是“ 截面D zc1法
2、”，也即“先二后一” 。步骤为：确定位于平面 zc1与 zc2 之间，即 zc1 , c2 ，过 z 作平行于 xoy 面的平面截，截面 D z 。区域 D z 的边界曲面都是 z 的函数。计算区域 D z 上的二重积分f ( x, y, z)d ，完成D zc2了“先二”这一步（二重积分） ；进而计算定积分F ( z) dz ，完成“后c1c2一”这一步。f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)d dzc1D z当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x,y 无关），且 D z 的面积( z)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问
3、题。可以按以下几点考虑： 将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域 D(平面)（1） D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如f (x 2y 2 ), f ( y ) 时，x可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（ 3） 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f (x2 y 2 z2 ) 时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法” 还是“截面法”，要视积分域及
4、被积函数 f(x,y,z)的情况选取。一般地， 投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：D z 是在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对 D z 积分时， f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算 SD z 。因而中只要 z a,b , 且 f(x,y,z)仅含 z 时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或 zf ( x2y 2 ) 时，可考虑用柱面坐标 计算。三重积分的计算方法例题：补例 1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面 xyz1 与三个坐标面x0,
5、 y0, z0 围成的闭区域。解 1“投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D.2. “穿线” 0z1xyX 型0x1D：y1x00x1： 0y1x0z1x y3.计算11 x1 x y11 x1111Izdxdydzdxdyzdzdx(1 x y) 2 dy(1 x) 2 y (1 x) y 2y 3 10x dx0000022 031 1 (1 x) 3 dx1 x3 x 2x3 1x 4 1016 062424解 2“截面法” 1.画出。2.z 0,1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D z 。Dz 是两直角边为 x,y 的直角三角形，x1z, y1z3.计算111Izdxdydz
6、zdxdy dzzdxdydzzSD z dz100Dz0D z0z( 1 xy)dz1z 11(1 z)(1 z)dz1 (z 2z2z3 )dz12022 024补例 2：计算x2y 2 dv ，其中是 x 2y2z2 和 z=1 围成的闭区域。解 1“投影法”画出及在面投影域zx22 y2xoyD.由 z1消去 z，1.得 x2y 21 即 D： x2y212. “穿线”x 2y 2z1，X 型D：1 x11x 2y1x21x1:1x 2y1x2x2y 2z13.计算11x111x2x 2y 2 dvdxdyx 2y2 dzdxx2y 2 (1x 2y 2 )dy11x2x2y211x2
7、6注：可用柱坐标计算。解 2“截面法”1.画出 。 2. z0,1 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 Dz ：x2y2z2D z02：z0 r02用柱坐标计算: 0rz0z13.计算112z1 1 r 3 0z dz21x 2y 2 dvx2y 2 dxdy dz dr 2 dr dz2z3 dz0D z00003306补例 3：化三重积分 If ( x, y, z) dxdydz为三次积分，其中：zx 22 y2 及 z2 x 2 所围成的闭区域。解： 1.画出及在 xoy 面上的投影域 D.zx22 y2由 z2x2消去 z，得 x2y 21即 D：x2y 212.“穿线” x 22
8、y 2z2x 2X型 D：1x11x 2y1 x21x1：1x2y1x2x22 y 2z2x 211x22x23计算 If ( x, y, z)dxdydz dxdyf ( x, y, z) dz11x2x 22 y2注：当 f (x, y, z) 为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例 4：计算zdv ，其中为 z6x2y 2及 zx2y 2所围成的闭区域。解 1“投影法”1.画出 及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标计算xr cos由 yr sin化的边界曲面方程为： z=6-r2，z=rzz2.解z 6r 2 得r2 D： r2 即 0r2z r0202“穿线”rz6r 2:0r2rz6r 26r 2226 r 22r 1 z2 r6r 23计算zdvzdz rdrddrdrzdz2drDr00r022292r ( 6 r 2 )2r 2 dr(36r13r 2r 5 )dr。003解 2“截面法”1.画出。如图：由 z6r 2及 zr 围成。2.z 0,60,2 2,6121 由 z=r 与 z=2 围成； z0,2， D z ： r z021 ： 0rz0z22 由 z=2
