《江苏省徐州市高中数学第2章平面解析几何初步直线与圆综合学案苏教版必修22023221通用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省徐州市高中数学第2章平面解析几何初步直线与圆综合学案苏教版必修22023221通用（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1已知圆与曲线有三个不同的交点.（1）求圆的方程；（2）已知点是轴上的动点， ， 分别切圆于， 两点.若，求及直线的方程；求证：直线恒过定点. 2在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上(1)若圆分别与x轴、y轴交于点A、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值；(2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E、F， P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线异侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.3已知圆，直线.（1）若直线与圆交于不同的两点,当时，求的值.
2、（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点；（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.4已知平面直角坐标系内两个定点、,满足的点形成的曲线记为.(1)求曲线的方程;(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于.求证四边形MNEF的面积为定值.5已知圆，直线:x=6，圆与轴相交于点（如图），点P(-1,2)是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点（1）若过点P
3、的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，求证： 为定值.6已知圆经过点，圆的圆心在圆的内部，且直线被圆所截得的弦长为.点为圆上异于的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.（1）求圆的方程；（2）求证: 为定值；（3）当取得最大值时，求7如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点.（）当与垂直时，求证：过圆心；（）当时，求直线的方程；（）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.8已知圆 ，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分
4、别为，求：的值；的最大值.9已知圆C： ，直线l： （）求直线l所过定点A的坐标；（）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；（）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数。10已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以， 为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.11已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切（1）求直线被圆所截得的弦的长；（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为求直线的方程；（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为
5、钝角，求直线 在轴上的截距的取值范围12已知圆与直线相切，设点为圆上一动点， 轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）直线与直线垂直且与曲线交于两点，求面积的最大值参考答案1（1）；（2）或；过定点.【解析】试题分析：（1）由得或。直线与圆相交，故直线与圆相切，所以可用圆心到直线的距离等于，可求得；（2）设直线， 交于点，由弦长、勾股定理可求|MP|，在直角三角形AMQ，由三角形相似得，求得，设点，由距离公式求点的坐标，再结合点M的坐标求直线MQ的方程；设点，求过点Q、M的圆的方程，弦AB为两圆的公共弦，求直线AB的方程，由方程求定点的坐标。试题解析：（1）因为直线与圆相
6、切，故圆心到直线的距离为，即： ， .所以圆的方程为.（2）设直线， 交于点，则，又，所以，而，所以，设，而点，由， ，则或，从而直线的方程为：或.证明：设点，由几何性质可以知道， ， 在以为直径的圆上，此圆的方程为， 为两圆的公共弦，两圆方程相减得，即，所以过定点.【点睛】（1）曲线表示两直线或。两直线与圆一相交、一相切，由相切求半径；（2）分析图形，在三角形OMQ中，由三角形相似求|MQ|，再由距离公式求点Q的坐标，有两点式求直线方程；弦AB为过点Q、M的圆与圆M的公共弦，两圆方程相减求直线AB方程，由方程求定点坐标。2(1)证明过程见解析；(2) ；（3）直线过定点.【解析】(1)由题意
7、可设圆M的方程为，即令，得；令，得(定值) (2)由，知所以，解得当时，圆心M到直线的距离小于半径，符合题意；当时，圆心M到直线的距离大于半径，不符合题意所以，所求圆M的方程为 (3)设，又知，所以，显然，设，则.从而直线PE方程为：，与圆M的方程联立，消去y，可得：，所以，即； 同理直线PF方程为：，与圆M的方程联立，消去y，可得：，所以，即.所以 ； .消去参数m整理得 设直线的方程为，代入，整理得所以，代入式，并整理得， 即，解得或当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点第二种情况不合题意(因为在直径的异侧)，舍去.所以，直线过定点.点睛：本题的设置旨在考查直线的方程、圆的
8、方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用，同时检测学生运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解第一问时，直接借助圆在坐标轴上的截距，结合三角形的面积公式进行分析推证；第二问则运用分类整合思想分别求圆的标准方程；第三问则是借助直线与圆的位置关系建立方程组，通过对方程根的分析推证进行探求，进而使得问题获解.3（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合点到直线的距离，即可求解的值；（2）由题意得可知四点共圆且以为直径的圆上，在圆上可得直线的方程，即可得到直线是否过定点；（3）设圆心到直线的距离分别为 ，则，表示出四边形的面积，利用基本不等式，可求求四边形的面积.
9、试题解析：（1） 点到的距离,.（2）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，设,其方程为：,即：，又在圆上，即，由得，直线过定点.（3） 设圆心到直线的距离分别为 ,则，.当且仅当即时，取“=”.四边形的面积的最大值为.考点：直线与圆的位置关系；两点间的距离公式.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置及其应用问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，基本不等式的应用、三角形的面积公式、直线过定点问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中灵活应用直线与圆的位置关系、点到直线的距离、以及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.4(1
10、) ;(2) ;(3)见解析【解析】试题分析：(1) 由题设知,两边平方化简可得结论；(2)设直线l的方程，求出原点到直线的距离d，再利用垂径定义求出弦长,再化简求解，可得结论；(3) 设 (其中)，分别求出直线QM、QN的方程，即可得点E、F的坐标，由化简求解，即可得出结论.试题解析： (1)由题设知,两边平方化简得点的轨迹的方程为(2)由题意知的斜率一定存在, 设即,原点到直线的距离,当且仅当时,取得“=” 当时,此时, 直线的方程为(3)设设 (其中)则,令得,令得 (定值)5（1）或（2）-3【解析】试题分析：（1）由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离，设直线的方程为， 由 解得，又
11、过点P且与轴垂直的直线显然符合要求，故满足题意的直线应为两条；（2）方法1：联立 得点 ，问题得证；方法2：设点的坐标为，分 ， ，两组情况讨论得证；方法3：设点的坐标为, 则，则由三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点，表示出 ，可证为定值试题解析：（1）因直线与圆相交所得弦长等于，所以圆心到直线的距离 设直线的方程为，即 由 解得又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求所以直线的方程是或 （2）方法1：设点的坐标为，则直线的方程为 由 解得 从而得点 所以 方法2：设点的坐标为， 若 ，则 所以 当时，同理可得 所以为定值 方法3：设点的坐标为, 则 则三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点
12、点睛：本题考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题6（1）；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出圆心及半径，然后利用弦长公式求得半径，再利用点到直线的距离公式求得圆心，从而求得圆的方程；（2）直线的斜率不存在可直接求出定值，直线与直线的斜率存在时，设点，由此得到直线的方程与的方程，从而求得点的坐标，进而利用向量数量积公式求出定值；（3）首先求得关于的表达式，然后根据直线与圆位置关系求得的值试题解析：（1） 易知点在线段的中垂线上，故可设,圆的半径为直线被圆所截得的弦长为，且到直线 的距离,或.又圆的圆心
13、在圆的内部，,圆的方程.（2）证明: 当直线的斜率不存在时,. 当直线与直线的斜率存在时，设,直线的方程为令得.直线的方程为令得.,故 为定值为（3）解: 设,易知当直线与圆切于第三象限时，取得最小值，此时， 此时，故.考点：1、直线与圆的位置关系；2、向量的数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法：（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义；（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简7（I）证明见解析；（II）或；（III）的值为定值.【解析】试题分析：（I）由已知，故，所以直线的方程为，即可证明；（II）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解；（III）当与轴垂直时，易得，求得；当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系，化简即可求解定值.试题解析：（）由已知，故，所以直线的方程为.将圆心代入方程易知过圆心.（）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，所以，由，解得.故直线的方程为或.（）当与轴垂直时，易得
