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1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) _.(2) _.(3) 设,则_.(4) 幂级数的收敛半径_.(5) 设三阶方阵、满足关系式：,且,则_.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设有直线及平面,则直线 ( )(A) 平行于 (B) 在上 (C) 垂直于 (D) 与斜交 (2) 设在上,则、或的大小顺序是( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设可导,则是在处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (
2、4) 设,则级数 ( )(A) 与都收敛 (B) 与都发散 (C) 收敛而发散 (D) 发散而收敛 (5) 设,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设,其中、都具有一阶连续偏导数,且,求.(2) 设函数在区间上连续,并设,求 .四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1) 计算曲面积分,其中为锥面在柱体内的部分.(2) 将函数展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线位于平面的第一象限内,上任一点处的切线与轴总相交,交点记为.已知,且过点,求的方程.六、(本题满分8分)设函数在平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分
3、与路径无关,并且对任意恒有,求.七、(本题满分8分)假设函数和在上存在二阶倒数,并且,试证：(1) 在开区间内；(2) 在开区间内至少存在一点,使.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.九、(本题满分6分)设是阶矩阵,满足(是阶单位阵,是的转置矩阵),求.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则的数学期望_.(2) 设和为两个随机变量,且, ,则_.十一、(本题满分6分)设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题
4、(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】这是型未定式求极限,令,则当时,所以,故 .(2)【答案】【解析】 .【相关知识点】积分上限函数的求导公式：.(3)【答案】【解析】利用向量运算律有 (其中).(4)【答案】【解析】令,则当时,有而当时,幂级数收敛,即时,此幂级数收敛,当时,即时,此幂级数发散,因此收敛半径为.(5)【答案】【解析】在已知等式两边右乘以,得,即.因为 ,所以=.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线的方向向量与平面的法向量的相互关系问题.直线的方向向量,平面的法向量,.应选(C).(2)【答
5、案】(B) 【解析】由可知在区间上为严格单调递增函数,故由微分中值定理,.所以,故应选择(B).(3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为,所以,由此可得 在处可导.必要性:设在处可导,则在处可导,由可导的充要条件知 . 根据重要极限,可得 , 结合,我们有,故.应选(A).(4)【答案】(C)【解析】这是讨论与敛散性的问题.是交错级数,显然单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数中,.根据正项级数的比较判别法以及发散,发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设和都是正项级数,且则
6、当时,和同时收敛或同时发散； 当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散； 当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散.(5)【答案】(C)【解析】是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而是由先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 ,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式,其中确定,并求.将方程两边对求导得 ,解得 . 现再将对求导,其中,可得 .将式代入得 .【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果
7、函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数存在,且有；.(2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分表成二重积分,其中如右图所示.交换积分次序.由于定积分与积分变量无关,改写成. .方法二：用分部积分法.注意,将累次积分写成四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【解析】将曲面积分化为二重积分.首先确定被积函数 ,对锥面而言, .其次确定积分区域即在平面的投影区域(见右图),按题意：,即.作极坐标变换,则,因此 .(2)【解析】这就是将作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得的傅氏系数：.由于(延拓后)在分段单调、连续且.于是有展开式.
8、五、(本题满分7分)【解析】设点的坐标为,则处的切线方程为 .令,得,切线与轴的交点为.由,有.化简后得伯努利方程 .令,方程化为一阶线性方程 .解得 ,即 ,亦即 .又由,得,的方程为 .六、(本题满分8分)【解析】在平面上与路径无关(其中有连续偏导数), ,即 .对积分得 ,其中待定.代入另一等式得对, . 下面由此等式求.方法一：易求得原函数于是由式得 .即 ,亦即 .求导得 ,即 .因此 .方法二：取特殊的积分路径：对式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得 .即 ,亦即 .其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设,使.则由罗尔定理,与使；从而由罗尔定理
9、, ,.这与矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证在存在零点.方法一：注意到 ,考察的原函数,令,在可导,.由罗尔定理,使.即有,亦即 .方法二：若不能像前面那样观察到的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：.(取).令,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于的特征向量为,因为为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故,即.解之得 .于是有 ,所以 . 九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据有,移项得 .因为,故.所以.方法二：因为,所以 ,即 .因为,故.所以.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以服从的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有,根据方差性质有 .(2)【解析】令,则.由概率的广义加法公式 ,有十一、(本题满分6分)【解析】方法1：用分布函数法先求的分布函数.当时, 当时, 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得或者直接将对求导数得方法2：用单调函数公式直接求的概率密度.由于在内单调,其反函数在内可导且其导数为,则所求概率密度函数为【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.
