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1、专业好文档习题1.21=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。解:=2xdx 两边积分有:ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:ydx=-(x+1)dy dy=-dx两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解:y=3= 解:原方程为:=dy=dx 两边积分:x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
2、解:原方程为: dy=-dx两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5(y+x)dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: =-令=u 则=u+x 代入有:-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解:原方程为: =+-则令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:=两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.
3、8 +=0 解:原方程为:=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为:=ln令=u ,则=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解:原方程为:=eee=ce11 =(x+y) 解:令x+y=u,则=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解:令x+y=u,则=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y
4、)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c14: =解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解:原方程为:=(x+4y)+3令x+4y=u 则=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程,并由此求下列方程:1) y(1+xy)dx=xdy2) = 证明: 令xy=u,则x+y= 则=-,有: =f(u)+
5、1 du=dx 所以原方程可化为变量分离方程。1) 令xy=u 则=- (1)原方程可化为:=1+(xy) (2)将1代入2式有:-=(1+u)u=+cx17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解:设(x +y )为所求曲线上任意一点,则切线方程为:y=y(x- x )+ y 则与x轴,y轴交点分别为: x= x - y= y - x y 则 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中 = 。解:由题意得:y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则y=tgx 所以 c=1 y=x.19.证明曲
6、线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明:设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则y=kx 则:y=kx +c 即为所求。 常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:3 解:原式可化为: 12解1516解: ,这是齐次方程,令17. 解:原方程化为 令方程组则有令当当另外 19. 已知f(x).解:设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x(0)存在。解:令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。
7、所以x(0)=0. x(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题2.2求下列方程的解1=解: y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解:原方程可化为:=-3x+e所以:x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解:s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 , n为常数.解:原方程可化为: 是原方程的解.5+=解:原方程可化为:=- ()= 是原方程的解.6 解: =+令 则 =u因此:= (*)
8、将带入 (*)中 得:是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以,令 P(x)= Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式 =14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 P(x)= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = =15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = =c=1y=17 设函数(t)于t上连续,(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或(1)
9、当时 即 ,) (2) 当时 = = =于是 变量分离得 积分 由于,即t=0时 1=c=1故 20.试证: (1)一阶非齐线性方程(2 .28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解; (2)若是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为,其中为任意常数.(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明: (2.28) (2.3)(1) 设,是(2.28)的任意两个解则 (1) (2)(1)-(2)得 即是满足方程(2.3)所以,命题成立。(2) 由题意得: (3) (4)1)先证是(2.28)的一个解。于是 得故是(2
10、.28)的一个解。2)现证方程(4)的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则 (4)于是 (4)-(4)得从而 即 所以,命题成立。(3) 设,是(2.3)的任意两个解则 (5) (6)于是(5)得 即 其中为任意常数也就是满足方程(2.3)(5)(6)得 即 也就是满足方程(2.3)所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6) 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解:设为曲线上的任一点,则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即 横截距为 , 纵截距为 。由题
11、意得:(5) 方程变形为 于是 所以,方程的通解为。(6)方程变形为 于是 所以,方程的通解为。22求解下列方程。(1)解: = = = (2) P(x)= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = = =习题2.31、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。1. 解: ,=1 .则所以此方程是恰当方程。凑微分,得 :2 解: , .则 .所以此方程为恰当方程。凑微分,得 3 解: 则 .因此此方程是恰当方程。 (1) (2)对(1)做的积分,则= (3)对(3)做的积分,则=则故此方程的通解为4、 解: , . .则此方程为恰当方程。凑微分,得 :5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解: M=sin-cos+1 N= cos- sin+