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1、因式分解的常用法第一部分：法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多数学问题的有力工具?因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c）、运用公式法?在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：22-b=
2、(a+b)(a-b);222ab+b=(ab);332a+b=(a+b)(a-ab+b332_-b=(a-b)(a+ab+b).22(1) (a+b)(a-b)=a-b222(2) (ab)=a2ab+b2233(3) (a+b)(a-ab+b)=a+b-2233(4) (a-b)(a+ab+b)=a-b面再补充两个常用的公式：222(5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)33322_(6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例.已知a,b,c是ABC的三边，且a2b2c2abbccaD等腰直角三角形A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形则A
3、BC的形状是（）三、分组分解法.一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn例2、分解因式：2ax10ay5bybx_2练习：分解因式1、aabacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式22例3、分解因式:xyaxay例4、分解因式:例4、分解因式:a22abb2c2练习：分解因式练习：分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（1）综合练习：（1）x3x2yxy2y322(2)axbxbxaxab222x6xy9y16a8a1222x6xy9y16a8a122(4)a6ab12b9b4a(9)(9)a42a3a2(6)4a2x4a2yb2xb2y2X2xy
4、xzyzy(8)2a2ab22b2ab1y(y2)(m1)(m1)(io)(ac)(ac)b(b2a)222(11)a(bc)b(ac)c(ab),33bc3abc四、十字相乘法？（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式-x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;常数项是两个数的乘积；(2) 次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？求符合条件的a.2例.已知0VaW5，且a为整数，若2x3xa能用十字相乘法分解因式2例5、分解因式：x5x622练习5、分解因式x14x24a15a362x4x5练习6、分解因式xx2例6、分解因式：x7x62
5、y2y152(3)x10x24(二)二次项系数不为1的二次二项式ax2bxc条件：(1)aa1a2a1-C1(2)cC1C2aXC2(3)bac?a?ba1C2a?。分解结果：ax2bxc=(a1XC1)(a2xC2)2例7、分解因式：3x11x10分析：；X-53-5(-6)+(-5)=-112解:3x11x10=(x2)(3x5)2练习7、分解因式:(1)5x7x62(2)3x7x22222练习8、分解因式(1)x3xy2y(2)m6y11y10(3)10x17x3（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用
6、十字相乘法进行分解1.8b1-16b8b+（-16b）=-8b解:a28ab128b2=a28b（16b）a8b（16b）=（a8b）（a16b）2226mn8n(3)aab6b22例9、2x7xy6yV222J八-3y(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=(x2y)(2x3y)练习9、分解因式：(1)15x2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式22例10、xy3xy2把xy看作一个整体1、xA-11AA-2(-1)+(-2)=-3解：原式=(xy1)(xy2)7xy4y2(2)a2x26ax8综合练习10、（1)8x67x312(2)12x11xy15y2（3(xy)23(xy)10(4)
7、(ab)4a4b3)(5A22xy5x22y6x2（6）m24mn4n3m6n2)(7x24xy4y22x4y3(8)5(ab)222223(ab)10(ab)）（922222)4x24xy6x3yy10(10)12(xy)11(xy)2(xy)思考:分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc五、换元法。22例13、分解因式（1）2005X（20051）x2005(x6)x2(x6)x2（2）（x1）（x2）（x3）22解：（1）设2005=a，则原式=ax（a1）xa=（ax1）（xa）=（2005x1）（x2005）（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。22
8、2原式=（x7x6）（x5x6）x设x25x6A,则x27x6A2x?原式二=(A2x:)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x226x6)练习13、分解因式（1)(x22、2xyy)24xy(xy2)(2)(x23x2)(4x28x3)902222(a21)(a5)4(a3)243例14、分解因式（1）2xx6xx21,并且系数成“轴观察：此多项式的特点是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，解：原式=x（2xx6xx1212设xx?原式=x22(t22)=x22t5t然后再用换元法。2）=2x121x2212）
9、（x）6x解：原式:?原式:t,则xt6=2=x2x2t2x22t22x-t105xc2=x?2x5x-xxx2=(x1)(2x1)(x2)432x4xx4x11小=2亠2亠25x2x2=x(y22=x(x练习14、（1）（2）4x6x2x14x14)x2=x则x2A4y3)=1)(xx37x36x2x3x2-y1)(yx2(y1一-3)=xx7x62(xx2)3)3x1解法1拆项。xx解法21x添项。x例15、分解因式（31)x3x4原式32小原式=：33x24x4x4=x13x3x=(x1)(x2x1)3(x1)(x1)=x(x23x4)(4x4)=(x1)(x2x13x3)=x(x1)(
10、x4)4(x1)2=(x1)(x4x4)=(x1)(x24x4)1x2=(x1)(X2)=(x1)(X2)X232yn)6y2x(2)X96X3X3解：原式=/9(X1)(x6/31)(x6X(X,31)(x6X(X1)(x2X(X15、分解因式1)(X31)3“、/31)(X1)(x31)(X1)31X311)1)(X62x33)(1)x34(3)X4(5)X9x87x214y(x(2)(X1)4(x21)2(X1)X4X22ax1y)4(6)2a2b22a2c22b2c2a4b4c例16、分解因式xy6y2x13y6分析：原式的前项X2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定
11、可分为(x3ym)(x解：设xy13y6=(x3ym)(x2yn)?/(x3ym)(x2yn)=x226y2xy6y2xy(mn)x(3n2m)ymn2?Xxyx13y6y2n1(mn)x(3n2m)ymn七、待定系数法对比左右两边相同项的系数可得3n2m13,解得mn?原式=(x3y2)(x2y3)例17、(1)当m为值时，多项式X2mx5y6能分解因式，并分解此多项式。1和x2，求ab的值。(1)分析2解：设x(X2y前两项可以分解为(Xy)(xy),a)(xyb)ymxa)(x5yy6b)=(xy则X22ymx5y62=X2y(ab)x(babma2比较对应的系数可得：ba5,解得:b3或ab6m1如果X3axbx8有两个因式为x?当m1时，原多项式可以分解；当m1时，原式=(xy2)(xy3)；故此多项式分解的形式必为a)yaba2b3m1当m1时，原式=(xy2)(xy3)(2)分析：x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因的一次二项式。式必为形如xc解：设x32axbx8=(x1)(x2)(xc)则x32axbx8=x3(3c)x2(23c)x2ca3ca7?b23c解得b14,2c8c4?-ab=2i2210yx9y222y5x7y6
