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1、中考数学函数经典试题集锦1、（2006重庆）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B().(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；（注：抛物线的顶点坐标为）(3) P是线段OC上的一点，过点P作PH轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.解析 （1）解方程得由，有所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入.得解这个方程组，得所以，抛物线的解析式为（2）由，令，得解这个方程，得所以C点的坐标为
2、（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.过D作轴的垂线交轴于M.则，所以，.（3）设P点的坐标为（）因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为.那么，PH与直线BC的交点坐标为，PH与抛物线的交点坐标为.由题意，得，即解这个方程，得或（舍去），即解这个方程，得或（舍去）P点的坐标为或.2、（2006黑龙江鸡西）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之
3、间的函数图象根据图象回答下列问题： (1)求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)； (2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止? (3)加工完这批工件，机器耗油多少升?解析 (1)设所求函数关系式为y=kx+b 由图象可知过(10，100)，(30，80)两点， 得 解得 y=-x+llO (2)当y=10时，-x+110=10，x=100机器运行100分钟时，第一个加工过程停止 (3)第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟 加工完这批工件，机器耗油166升3、（2006北京海淀）已知抛物线的部分图象如图1所示。图1 图2
4、（1）求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小。解析 （1）根据图象可知且抛物线与x轴有两个交点所以一元二次方程有两个不等的实数根。所以，且所以（2）因为抛物线经过点（0，-1）把代入得故所求抛物线的解析式为（3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a）把代入，得把代入，得所以画出的图象如图所示。观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和把和分别代入和可知，和是的两个交点根据图象可知：当或或时， 当时，
5、 当时，4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知（1）设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）分别求出前三级台阶的长度（精确
6、到厘米）；这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？上山方向长度高度（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，（米）假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为试求索道的最大悬空高度解析 （1）是山坡线AB上任意一点，4，（2）在山坡线AB上，令，得 ；令，得第一级台阶的长度为（百米）（厘米）同理，令、，可得、第二级台阶的长度为（百米）（厘米）第三级台阶的长度为（百米）（厘米）取点，又取，则这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级从
7、100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶解题时取点具有开放性）另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图这种台阶的长度不小于它的高度当其中有一级台阶的长大于它的高时，在题设图中，作于H上山方向则，又第一级台阶的长大于它的高这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚（3）、由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在BC上方时，悬空高度当时，索道的最大悬空高度为米5、如图14，抛物线E：交x轴于A、B两点，交y轴于M点。抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。求F的解析式；在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、CN、M为顶点的四边形
8、是平行四边形。若存在，求点N坐标；若不存在，请说明理由；若将抛物线E的解析式改为，试探索问题。解析 当y=0时，解得x1=3，x2=1，A、B点坐标分别为（3，0）、（1，0）当x0时，y3，M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，D、C坐标为（3，0）、（1，0）设F的解析式为a1，b4F的解析式为（2）存在。假设MNAC，N点的纵坐标为3。若在抛物线F上，当y=3时，则x1=0，x2=4N点坐标为(4，3)，MN=4，由(1)可求AC=4，MN=AC，四边形ACNM为平行四边形。根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(4，3)或(4，3)(3) 存在。假设
9、MNAC，N点的纵坐标为c。设y0，A点坐标为(，0)，B点坐标为(，0)C点坐标为(，0)，AC=在抛物线E上，当y=c时，x1=0，x2=N点坐标为(，0)NM=0()=，NM=AC，四边形ACMN为平行四边形。根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(，c)或(，c)。6、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上
10、、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。解析 （1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+kl2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）y=ax2+4 0=4a+4 得 a=-1l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1 ,y1) 点B在l1上 B(x1 ,x12-4) 四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 B、D关于O对称 D(-x1 ,-x12+4). 将D(-x1 ,-x1
11、2+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 左边=右边 点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则 S=2*SABC =AC*|y1|=4|y1| a.当点B在x轴上方时，y10 S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， S既无最大值也无最小值 b.当点B在x轴下方时，-4y10 S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， 当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上. ACBD 平行四边形ABCD是菱形 此时S最大=16.7、（2006吉林长春）某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售
12、单价为60元。该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元。（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？ （2）设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式。（3）当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买1000个零碎件时，利润又是多少？（利润 = 售价成本）解析（1）设当一次购买x个零件时，销售单价为51元，则（x100）0.02 = 6051，解得 x = 550。答：当一次购买550个零件时，销售单价为51元。 （2）当0x100时， y = 60；当100x550时
13、， y = 620.02x；当x550时， y = 51。 （3）当x = 500时，利润为（620.02500）50040500 = 6000（元）。当x = 1000时，利润为1000（5140）= 11000（元）。答：当一次购买500个零件时，该厂获得利润为6000元；当一次购买1000个零件时，该厂获得利润11000元。 8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。（1）求点A的坐标。（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_。解析（1）由 可得 A（4，4）。 （2）点P在y = x上，OP = t，则点P坐标为点Q的纵坐标为，并且点Q在上。，即点Q坐标为。
