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1、专题二 立体几何江苏卷5年考情分析小题考情分析大题考情分析常考点空间几何体的表面积与体积(5年3考)本专题在高考大题中的考查非常稳定，主要是线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明，一般第(1)问是线面平行的证明，第(2)问是线线垂直或面面垂直的证明，考查形式单一，难度一般.偶考点简单几何体与球的切接问题第一讲 小题考法立体几何中的计算考点(一)空间几何体的表面积与体积主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积.题组练透1现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为_cm.解析：因为圆锥底面半径为3 cm，母线长为
2、5 cm，所以圆锥的高为4 cm，其体积为32412 cm3，设铁球的半径为r，则r312，所以该铁球的半径是 cm.答案：2(2018苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为_解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为2，所以该直四棱柱的侧面积为Scl42216.答案：163.(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_解析：由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥2()21.答案：4(2018南通、泰州一调)如图
3、，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗)解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为64249460 cm3，设所求正三棱柱的底面边长为x cm，则有x2660，解得x2，所以所求边长为2 cm.答案：25设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等且，则的值是_解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2r1h12r2h2，即r1h1r2h
4、2，又，则.答案：方法技巧求几何体的表面积及体积的解题技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解考点(二)简单几何体与球的切接问题主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题，以及将空间几何体的问题转化为平面几何图形的关系的能力. 题组练透1(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V
5、2，则的值是_解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以.答案：2(2018无锡期末)直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，BB15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_解析：根据条件可知该直三棱柱的外接球就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为R，则2R，得R，故该球的表面积为S4R250.答案：503已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB3，BC，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于点E，则棱锥EABCD的体积为_解析：如图所示，BE过球心O，BE
6、4，BD2，DE 2，VEABCD322.答案：24(2018全国卷改编)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为_.解析：由等边ABC的面积为9，可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.答案：18方法技巧简单几何体与球切接问题的解题技巧方法解读适合题型截面法解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来
7、作球内切多面体或旋转体构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接的性质球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径正棱锥、正棱柱的外接球补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等考点(三)平面图形的翻折与空间图形的展开问题主要考查空间图形与平面图形之间的转化，面积、体积以及最值 问题的求解.典例感悟典例(1)如图，正ABC的边长为2，CD是AB边上的高
8、，E，F分别为边AC与BC的中点，现将ABC沿CD翻折，使平面ADC平面DCB，则三棱锥EDFC的体积为_(2)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_解析(1)SDFCSABC，E到平面DFC的距离h等于AD，VEDFCSDFCh.(2)将侧面展开后可得：本题AMMC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求AMMC1的最小值如图，当A，M，C1三点共线时，AMMC1最小又ABBC12，AB1，BC2，CC13，所以AM，MC12，又AC1，所以cosAMC1，所以sinAMC1，故三角形面积为S2.答
9、案(1)(2)方法技巧解决翻折问题需要把握的两个关键点(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变(2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形演练冲关1有一根长为6 cm，底面半径为0.5 cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为_cm.解析：由题意作出图形如图所示，则铁丝的长度至少为2.答案：22(2
10、018南京、盐城、连云港二模)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图)，则正四棱锥SEFGH的体积为_解析：连结EG，HF，交点为O(图略)，正方形EFGH的对角线EG2，EO1，则点E到线段AB的距离为1，EB，SO2，故正四棱锥SEFGH的体积为()22.答案：3如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB
11、AD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V3.答案：必备知能自主补缺(一) 主干知识要牢记1空间几何体的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧chc为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧chc为底面周长h为斜高即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧(cc)hc为上底面周长c为下底面周长h为斜高，即侧面等腰梯形的高圆柱S圆柱侧2rlr为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧rlr为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台
12、侧(r1r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长2.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台(SS)h(不要求记忆)3球的表面积和体积公式：(1)S球4R2(R为球的半径)；(2)V球R3(R为球的半径)4立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中两点距离最短(二) 二级结论要用好1长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d2a2b2c2；若长方体外接球半径为R，则有(2R)2a2b2c2.针对练1设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,2，4，则其外接球的表
13、面积为_解析：依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R2，所以该三棱锥外接球的表面积为S4R232.答案：322棱长为a的正四面体的内切球半径ra，外接球的半径Ra.又正四面体的高ha，故rh，Rh.针对练2正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为_解析：由题意知，面积最小的截面是以AB为直径的圆，设AB的长为a，因为正四面体外接球的半径为2，所以a2，解得a，故截面面积的最小值为2.答案：3认识球与正方体组合的3种特殊截面：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)课时达标训练A组抓牢中档小题1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 _.解析：由题意，得圆锥的母线长l，所以S圆锥侧rl1.答案：2已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2，于是其体积V226636cm3.答案：363已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为
