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1、 学士学位论文基于Matlab的系统的稳定性分析3摘要稳定性在系统的实际应用中非常的重要，本文介绍了系统的稳定性的概念，论述了常用判定系统的稳定性的方法：奈奎斯特判据、根轨迹法、波特图法等，也介绍了罗斯矩阵、朱里矩阵在稳定性分析中的作用。应用MATLAB编程来实现奈奎斯特判据、根轨迹法、Bode图对稳定性的分析。关键词：LTI系统；稳定性；MATLABMatlab-based analysis of system stabilityAbstractThe stability of the systems practical application is very important, this
2、 paper introduces the concept of stability of the system, discusses the stability of the system used to determine the method: Nyquist criterion, root locus method, Bode plots, such as law, Rose also introduced the matrix, where matrix Zhu at the role of stability analysis. Application of MATLAB prog
3、ramming to achieve the Nyquist criterion, root locus method, Bode diagram of the stability analysis.Key words：LTI system; stability; MATLAB 目录摘要1ABSTRACT1引言21.理论分析21.1概述21.1.1 MATLAB语言介绍21.1.2 LTI系统的稳定性31.2 LTI连续时间系统的稳定性分析31.2.1因果连续时间系统的稳定性准则31.2.2连续时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据61.3 LTI离散时间系统的稳定性分析91.3.1因果离散时间系统
4、的稳定性准则91.3.2离散时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据112.基于MTLAB的稳定性分析132.1 奈奎斯特图142.2根轨迹152.3 波特图163.结论184.结语18致谢19引言线性时不变系统通常被称为LTI系统，系统在不同的情况下有不同的函数表达式。系统的稳定性对系统的输入输出行为至为重要。若系统稍微偏离其平衡态，就可能会产生几种情况；若系统保持在平衡状态附近，则称系统是稳定的；如果系统趋于返回平衡状态或一个极限状态，则称此系统为不稳定的。因此，研究系统的稳定性的方法称为稳定性判据或稳定判据，如劳斯判据，胡尔维茨（Hurwirz）稳定判据以及奈魁斯特稳定判据等，在MATLAB未产
5、生前，由于系统的复杂性，判别计算量非常大，而用了MATLAB以后，稳定性分析将变的很简单。1.理论分析线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输出无关。线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部。在实际工程系统中，为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性。1.1概述1.1.1 MATLAB语言介绍MATLAB是MATrix LABoratory的缩写，是MathWork公司于1984年推出的一套面向工程和科学运算的高性能软件。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被城为
6、第四代计算机语言。MATLAB发展至今，现已集成了许多工具箱，如控制系统集成箱（Control System Toolbox）、信号处理工具箱（Single Processing Toolbox）、模糊推理系统工具箱（Fuzzy Logic Toolbox）、Simulink工具箱等。为此。MATLAB语言在控制工程领域已获得了广泛的应用。1.1.2 LTI系统的稳定性LTI系统的稳定性与其系统函数或有着密切的关系。一个连续时间LTI系统，其冲激响应满足时，,而其系统函数的ROC一定是S平面的右半部分： 。一个稳定连续时间LTI系统的充要条件是其单位冲激响应绝对可积。即： （1）对应于系统函数
7、则是其ROC包含轴。结合以上两种结果，可得稳定连续时间LTI系统，其系统函数的所以极点的实部都必须是负的。离散时间LTI系统，也有类似的结果：（1）因果系统的充要条件是单位脉冲响应满足，其系统函数H(z)的ROC为某内界圆的外部，即；（2）稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，或系统函数H(z)的ROC包含单位圆；（3）因果稳定离散时间系统LTI系统的系统函数H(z)的所有极点必须落在单位圆内部。因此，可以通过系统函数，很方便地了解系统的稳定性。不仅如此，系统函数已经成为系统分析和综合的基本方法。1.2 LTI连续时间系统的稳定性分析1.2.1因果连续时间系统的稳定性准则因果连续时间系统
8、的系统函数 （2）式中 （3）的极点就是的根，因此为判断系统是否稳定，亦即的极点是否都在左半开平面，只需判断的根，即特征根是否都在左半开平面，并不需要知道各特征根的确切位置。所有根均在左半开平面的多项式称为霍尔维兹多项式。罗斯和霍尔维兹提出了判别多项式是否为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯- 霍尔维兹准则。对于特征根为实根和共轭复根，多项式可分解为许多一次因子和二次因子的乘积。如果特征根都在左半开平面，则要求各因子中，从而多项式的所有系数。也就是说，如果中任何一个或多个系数为零或负值，那么它就不是霍尔维兹多项式。上述条件是必要条件，而不是充要条件。罗斯提出了一种列表的方法，常城罗斯阵列。其方法如
9、下表所示，将多项式的系数按下表的规律排列在1，2行表1 罗斯阵列行1234n+1罗斯阵列中第3行及以后的各行，按以上规则计算， （4）, , （5）依次类推，一直排列到第n+1行（以后各行为零）。罗斯准则指出：多项式是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素的值均大于零，它保证了的根都在左半开平面。如果第一列元素的符号不完全相当，那么变号的次数就是在右半平面根的数目。对于二阶系统， （6）若，根据上述稳定准则，可得为霍尔维兹多项式的冲要条件为 （7）例1：已知某系统的系统函数为的系数排列成罗斯阵列 如果系统是稳定的，根据罗斯准则，以上阵列中的第一列元素的值为正值，即 和解得 因此，
10、当时，系统是稳定的。1.2.2连续时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据根据反馈系统的稳定性，要求 （8）或等效函数 （9）在S复平面的左半平面内没有零点。因此，可以考虑如图所示的一条半圆围线。当s沿这条围线C顺时针旋转一周时，由的轨迹围线顺时针绕原点的次数，可得出围线C内所包括的的零点个数和极点个数的差值。随着M增加至无穷大值时，对应的围线C就是沿 轴从到的半径为的半圆曲线，此时围线C包括了整个右半平面，且围线C变为整个虚轴。为了保证随M增加，围线C的半圆延伸至整个右半平面时，仍然是有界的。该条件要求的极点数要大于等于它的零点数。这时 （10）为常数。当极点阶数大于零点阶数时，上述值也为零。因此，
11、当M增大到无穷大是。沿着这个围线C半圆部分的值不再变化，为一常数。当时，图1所示的围线C与虚轴轴重合，对应的图就是当从变到时的图。如果正向和反馈通路的系统函数是稳定的，那么和分别是这两支路系统的频率响应函数。注意到的围线只是复变函数的一个性质，不涉及ROC的问题。这样，即使正向和反馈通路的系统不稳定，也可用上述方法，检查在范围内的图，用于计算位于右半平面内的零点数和极点数之差。再者，由式（9）可知，绕原点的次数，就是绕点-1/K的次数，即绕原点的次数，就是围绕点-1/K的次数。当从时，的图就称为奈奎斯特图。注意到，的极点就是的极点，而的零点是闭环极点。因此，根据围线映射性质可得如下结论。奈奎斯
12、特图顺时钟绕-1/K点的净次数等于右半平面内闭环极点数减去在右半平面内的极点数。由上述结果可得，如果反馈系统是稳定的，那么奈奎斯特图瞬时绕-1/K点的净次数等于在右半平面内的极点数，且是逆时针方向的。由此，就可得出连续时间奈奎斯特稳定性判决。例2：设，试画出奈奎斯特图并确定使反馈系统稳定的K的取值范围。解：从的表示式，可知（1）时， ；（2）时，；（3）当从0变化到时，相角单调从变化至，因此，时，对应的奈奎斯特图应在第III象限内。根据镜像对称性，可知时所对应的奈奎斯特图应在第II象限内。根据以上论述，可画出例题的奈奎斯特图如图2所示，对于该例，有一个由半平面的极点。因此，根据奈奎斯特稳定性判
13、据，要求奈奎斯特图逆时针围绕-1/k点一次，这样就要求-1/k点落在这条围线的里面。由图2可知，要-1/k点落在围线内，即要求k满足-1-1/K0亦即K1系统稳定。1.3 LTI离散时间系统的稳定性分析1.3.1因果离散时间系统的稳定性准则因果离散时间系统的系统函数 （11） （12）要判别系统的稳定性，就需判别特征方程所有的根的模是否都小于1.朱里提出了一种列表的判别方法，称之为朱里准则。表2 朱里阵列行1234562n-1将的系数如表2所示排列在第1，2行。表中第1行是的系数，第2行也是的系数，但按反序排列。第3行按下列规则求出 ， (13)第4行将第3行的各元素按反序排列。由第3、4行的元素再用上述规则求第5行和第6行的元素为 ， (14)依次类推，一直排到2n-3行。朱里准则指出，的所有根都在单位圆内的冲要条件是 （15）上式关于阵列中元素的条件是：各奇数行，其第一个元素的值必须大于最后一个元素的绝对值。例3：若系统的特征多项式为给系数是否稳定?解：首先将的系数排成朱里阵列表行14-402-12-1
