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1、 第十五章复数全章教案湖南省江华一中 何楠第1课时： 4.1复数的概念教学目的：1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)；4、理解并掌握复数相等的有关概念。教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等概念是本节课的教学重点。复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用。教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点。复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的。在规定i的第二条性质时，原有的
2、加、乘运算律仍然成立。授课类型：新授课。教 具：幻灯机、投影片。教学过程： 一、复习引入：数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N。随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数。这样就把数集扩充到有理数集Q。显然NQ。如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ。如果把整数看作分母为1的分数，那么有
3、理数集实际上就是分数集。有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集。因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的
4、方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1。由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位。并由此产生的了复数。二、讲解新课：1、虚数单位： (1)它的平方等于-1，即； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2、 与1的关系： 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是。3、的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。5、复数的代数形式： 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做
5、复数的代数形式。6、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。7、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。8、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d。复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据。一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如3+5i与4+3i不能比较大小。现有一个命题：“任何两个复数都不
6、能比较大小”对吗？不对。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。9、复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系。这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=2+i可以由有序实数对(2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之
7、间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，1)表示纯虚数i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3)表示的复数是2+3i，z=53i对应的点(5，
8、3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。三、讲解范例：例1、请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例2、复数2i+3.14的实部和虚部是什么？例3、实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？例4、已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y。四、课堂练习：1、设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，
9、则下列结论正确的是( )A、AB=C B、A=B C、AB= D、BB=C2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满足( )A、x= B、x=2或 C、x2 D、x1且x23、已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，则实数m的值为( )A、1 B、1或4 C、6 D、6或14、满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_ _。5、复数z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则z1=z2的充要条件是_ _。6、设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，
10、求m的值。7、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值。8、已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数； (4)z=+4i。五、课堂小结：这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等。基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。 六、课后作业：七、课后记：如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数
11、集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识。从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。第2课时： 4.2复数的运算（1）教学目的：掌握复数的加法运算及意义。教学重点：复数加法运算。教学难点：复数加法运算的运算率。授课类型：新授课。教 具：幻灯机、投影片。教学过程：一、复习引入：1、虚数单位、与1的关系、的周期性；2、复数的定义、 复数的代数形式、 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系、复数集与其它数集之间的关系及复数集C和复平面内所有
12、的点所成的集合是一一对应关系；3、 两个复数相等、复平面、实轴、虚轴的定义。二、讲解新课：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3、复数的加法运算满足交换律： z1+z2=z2+z1.4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)三、讲解范例：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i例2、计算：(12i)+(2+
13、3i)+(34i)+(4+5i)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+2002+2003)+(2+34+5+20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i.解法二：(12i)+(2+3i)=1+i，(34i)+(4+5i)=1+i，(20012002i)+(2002+2003)i=1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(1+i)+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i四、课堂练习：1、已知复数z1=2+I，z2=1+2i，则复数z=z2z1在复平面内所
14、表示的点位于A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、在复平面上复数32i，4+5i，2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是A、59iB、53iC、711iD、7+11i3、已知复平面上AOB的顶点A所对应的复数为1+2i，其重心G所对应的复数为1+i，则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为A、3B、2C、2D、4、复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i，5+2i，则由A、B、C所构成的三角形是A、直角三角形B、等腰三角形C、锐角三角形D、钝角三角形5、一个实数与一个虚数的差（ ）A、不可能是纯虚数 B、可能是实数C、不可能是实数 D、无法确定是实数还是虚数6、计算(=_ _。7、计算：(2x+3yi)(3x2yi)+(y2xi)3xi=_ _(x、yR)。8、计算（12i）(23i)+(34i)(20022003i)。答案：1、B； 2、C； 3、A； 4、A； 5、C； 6、.2I； 7、(yx)+5(yx)i；8、解：原式=(12+34+20012002)+(2+34+2002+2003)i=100
