《对称性与守恒定律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对称性与守恒定律（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章对称性与守恒定律* 7.1守恒量的平均值和测量取值几率1.力学量平均值随时间变化的方程x,t中x,t可这t的在本征态中，如果测量力学量 F ,则每时刻都可测得确定值。而在任意状态测量，力学量F 一般不显含时间t,则在每一时刻测量结果一般没有确定值。但 以按F的本征态系n做完全展开，所以测量 F本征值的几率是确定的，有确定的分布。样，每一时刻在任意态x,t下，力学量F有确定的平均值。在定态下，不显含时间力学量算符F的平均值不随时间变化。x,t ： t时刻的任意状态(归一化的)F x x, t F? x,t )* x,t F? x,t dx其中 x,t和F?都可能是时间的函数，则 F也可以是
2、时间的函数。量子力学中，讨论力学量随时间的变化是通过讨论力学量的平均值随时间的变化来反映利用含时薛定谓方程 1H?t ihF?F?tF 一 | f I利用H?的厄密性(H?)(H?)1ihHF?H?F? FH?ihfH即d- dt工77 ih- 力学量平均值随时间变化的方程。t2.守恒量定义：在任意状态下,力学量的平均值不随时间变化，即为与时间无关的常量。数学：d- 0dt（F与t无关的常量）力学量守恒的条件不特别声明，一般巴 O ,tt （一t0）（12不显含tF?0而尤不一定为0） dtdF - dxxydy-dz zFdt tF?,H?0即F?与H?对易，也可以作为守恒量的定义性质特点体
3、系在任意状态下，平均值不随时间变化。这是守恒量物理上的定义。体系在任意状态下，测量力学量（不显含 t）取值的几率分布不随时间变化。证明：F为守恒量，因为F,H?0,所以F?、H?有共同完全本征函数系Hr n En n和百n fn对任意态r,tr r,tcnnr,t为了求cn随时间的变化dCn tddtdt nr，Lr r,tt( tnihH?一*小Ehi h关于Cn t的一阶微分方程，其解为:EntCn tCn 0 e hCn t2与t无关。d Cn tdt 问题：量子体系的守恒量一定取确定值吗？不一定（一定取确定的平均值）量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的
4、本征态。若初始时刻，体系不处于守恒量 F的本征态，则此后任意时刻也不会处于 F的本征态, 即守恒量不取确定值，违者违背性质。若初始时刻体系处于守恒量 F的本征态，则此后任何时刻它将处于 F的属于同一本征 值的本征态中，否则也违背性质。这时守恒量的量子数称为好量子数，就是与能量 同时有确定值的力学量的量子数。3.守恒定律举例说明卢不显含t,则_F? 0 ,F?,H?0t自由粒子的动量（守恒）r ih?,H?2，卫一 0,所以动量是守恒量2因为工ih?,H?0,量子力学中的动量守恒定律 中心力场运动粒子的角动量（L2, LX, Ly, L-z）（守值）rU r U r ,中心势场，对坐标原点各向同
5、性不显含时间r rg也表现为一个标量,可以证明 L2,H?o,即角动量是守恒量物理理解：在绕原点转动变换下，如 r2 rgr 一样,即不变化。而势U r也不变化，于H?在绕原点转动变换下保持不变，可以证明,r r_r _这时轨道角动量L和L2是守恒量，即l?,H?数学理解：如对 L2 ,将L?2与H?采用球坐标的表述。球极坐标下:12r sinsin22r sinr2r工r2 r1sinsin12sin2r21-2 r. H?h22r2rh2r2rh2r2r% r L.只对角变量作用，r与,独立L2,H?的函数与r的函数对易,?0 L?与r无关所以苧祥4 0同理 d_LL 工 L?, H? 0
6、, i x, y, z dt i h即量子力学中的角动量守恒定律如库仑场中的电子，氢原子哈密顿不显含时间体系的能量（守恒）H?0H?,H?0,即能量是守恒量t所以dH1，H?o,即量子力学中的能量守恒定律dt ih如一维无限深势阱的粒子，线性谐振子等等哈密顿对空间反演不变时的宇称（守恒）、 r r . 已学过，宇称指波函数在空间反演（ r r ）下的奇偶性r r 一 ，、一r r , 十偶于称，-奇于称把这种对波函数的空间反演运算用宇称算符表示。宇称算符P：对波函数的空间反演运算? r,t r,t宇称本征值：/ r,t 照 r,t P? r,t r,t即P?2算符的本征值为1 P2 =1所以P
7、?算符的本征值为土 1, P 1L 1偶宇称I5- -1奇宇称F?宇称守恒:可得证明：如果H? r量即P?, H?证明：i?,H? rH? r H? rH?r r,t所以l?,H?问题：宇称守恒的状态, 不一定。（看初态） 例2.7.1粒子在势场解粒子的,即哈密顿量在空间反演下保持不变，则体系宇称是守恒P?H? rr,tH? r P?r,tH?H?r,tH? r P?r,tr,tH? r P?r,t 0宇称一定有确定值（即处在宇称本征态）吗?中运动，求坐标算符和动量算符对时间的微商。0代入（2.7.5）式，利用Xn, Pkdx dtx，212x, P2i12ienxn, k2Pk12i3enk
8、 12 xn, Pk12i33en Pk xn, n 1 k 1PkXn , Pk Pk12i3en2Pkik 1nk(2.7.6)以乘上式两边，即有dx dt(2.7.7)这表明，经典力学的动量表达式的量子力学中以算符的形式出现,坐标算符对时间的微商就是速度算符同理，将 上 0代入（2.7.5）式，并利用 P,U x i tU X (见习题 2.2.7),即dp 11 p21(2.7.8)瓦丁 p,H- p，二 U x - p,U x式中F是作用力算符。这表明，经典力学的运动方程在量子力学中将以算符的形式出现,动量算符对时间的微商正好等于力算符。将式(2.7.7)和(2.7.8)式对态求平均
9、，即得坐标平均值 x与动量平均值p的运动方程式dx dtdp dt(2.7.9)将(2.7.9)式与(2.7.10)式联立可得d 2x dt2(2.7.(10)(2.7.(11) 为厄任费斯特(Ehrenfest)方程，由于与年顿方程相似又称为“量子力学中 的年顿方程”，但它与经典力学的年顿方程存在本质的区别：(1) 在经典力学中,d2x A r 一 一 %、一白 、一,一分给出的是坐标x的加速度；在量子力学中，由于每一时刻 x出2般没有确定值,d2x注给出的是坐标平均值的加速度。出2(2) 在经典力学中,位于 X的粒子所受的力U x仅决定于该点的势场，而且受力的大小与粒子的运动状态无关；在量
10、子力学中，起作用的是力的平均值x,t U xx,t d(2.7.11)它是涉及整个势场的作用，而且与粒子所处的状态x,t有关。总之，经典力学中有关力学量之间的关系式, 现。在量子力学中将以平均值或算符的形式出2.7.2守恒量及其性质1守恒量的定义在任意态中，如果体系某一力学量的平均值F对时间的微商为零，即x,t dc.c.c.c.* EnCn t i(2.7.17) 2 ，、 这表明，守恒量 F取值的概率分布为 cn t 不随时间而变。（2）性质二：若初始时刻体系不处于守恒量F的本征态，则此后任何时刻体系也不会处于F本征态，即守恒量不取确定值，否则便会违背性质一；若初始时刻体系处于守恒量F的本
11、征态，则此后任何时刻它都处于F的同一本征值的本征态中，否则也违背性质一。例如，在一维无限深势阱中运动的粒子，由于H不显含t,能量是守恒量。若粒子的初始状态不是能量的本征态，而是各种能量本征态的线性叠加态， 则此后任何时刻也如此。又 如自由粒子的动量是守恒量，若自由粒子的初始状态不是动量的本征态（平面波），而是各种波数的平面波的线性叠加态（波包） ，则此后任何时刻也如此。与守恒量对应的量子数，称为好量子数，可以用它作为描述体系状态的特征参数。当体系处于守恒量 F的本征态时，便可用好量子数来标记这个态。在处理实际问题时，总是从所有的守恒量中选出一组力学量构成完全集。由于表示守恒量的算符必与H对易，
12、因此这个共同本征态也是能量的本征态（定态）。例如，对于氢原子（见 4.2节）通常选择H , L2和Lz2作为力学量的完全集，定态 nim X就是E , L2和Lz2同时有确定值的状态，描述它们的主量子数n ,角量子数l和磁量子数m都是好量子数。换句话说，好量子数就是与能量 同时有确定值的力学量的量子数。（3）性质三：若体系有互相不对易的守恒量F和G ,则体系的能级一般是简并的。证由F为守恒量，有 F, H 0,故F与H有共同的本征态，它们的本征值方程为HE（2.7.18）Ff（2.7.19）又由G为守恒量，有G, H 0,则HG GH EG（2.7.20）可见与G 均为H的本征值为E的本征态。
13、另一方面，F,G 0,故有（除个别例外）FG GF fG（2.7.21）即G 不是F的本征态。由此式可见，与G 是两个不同的态。即然两个不同的态具有相同的能级E,可见能级E是简并的。例如，对于氢原子，Lx2.2与Lz都是守恒量，但 Lx,Lz 0,故氢原子的能级是简并的。当然，氢原子的基本是一个例外。尽管Lx,Lz 0,但LxLzY00 LzLxY00 0使氢原子的基态能级并不简并。因为Y00为常数，任何微分算符作用于Y00均为零，这是一个非常特殊的例子。4 .奇宇称算符和偶宇称算符（1）定义：在空间反演xx下，若算符F F ,则F称为奇宇称算符；在空间反演xx下，若算符FF ,则F称为偶宇称算符动量算符p i i宇称算符（也称 p具有奇宇称）2动能算符T223en 在空间反演xnn 1xnxn下，有P p ,称p为奇23
