数值分析原理封建湖答案

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1、【篇一：数值分析原理课件第一章】以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法 相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传I=J1.1 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的 是在有限的时间段内 利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各 种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很 大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使 得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算 结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法 这门课程

2、则是针 对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效 的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算 方法； (5)常微分方程初值问题的数值解法； (6)优化问题的近似解 法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似” 之所以 要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计 算的数据来源等因素有关计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含 有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算 结果用机器数表示时就不可

3、避免的引入了误差，称之为舍入误差 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过 程截断，从而产生截11111的计算是无穷过程，当用en?1作为e的1!2!1!2!n!近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差 en?e断误差.如e?1?当用计算机计算en时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到en 的近似值e,也就是说最终用e近似e,该近似值既包含有舍入误差, 也包含有截断误差当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时,也不可避免得有观 测误差由于这些误差的大量存在,我们得到的只能是近似结果,进而对这 些结果的“可靠性”进行分析就是必须的,它成为计算方法的第二个 显著特点 可

4、靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定 性所谓适定性问题是指解存在、惟一,且解对原始数据具有连续依赖 性的问题 对于非适定问题的求解,通常需要作特殊的预处理,然 后才能做数值计算 在这里,如无特殊说明,都是对适定的问题进 行求解对于给定的算法,若有限步内得不到精确解,则需研究其收敛 性 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时,是否能够得到越来 越可靠的结果,也就是研究截断误差是否能够趋于零1 对于给定的算法,稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进, 研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大 对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种,常希望从中选出高 效可靠的求解算法 如我国南宋时

5、期著名的数学家秦九韶就提出求 n 次多项式anxn?an?1xn?1a1x?a0 值的如下快速算法 s?an；t?an?k；s?sx?t（k?1,2,?,n）它通过n次乘法和n次加法就计算出了任意n次多项式的值.再如 幂函数x可以通过如下快速算法计算出其值s?x；s?s?s；循环6次如上算法仅用了 6次乘法运算,就得到运算结果算法最终需要在计算机上运行相应程序,才能得到结果,这样就要 关注算法的时间复杂度（计算机运行程序所需时间的度量）、空间复杂 度（程序、数据对存储空间需求的度量）和逻辑复杂度（关联程序的开 发周期、可维护性以及可扩展性） 事实上,每一种算法都有自己的 局限性和优点，仅仅理论

6、分析是很不够的，大量的实际计算也非常 重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合 自己关心问题的有效求解算法 也正因如此，只有理论分析结合实 际计算才能真正把握准算法641.2 误差的度量与传播一、误差的度量 误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字定义11用x作为量x的近似，则称x?x?:e(x)为近似值x的绝对 误差由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根 据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上 界?，即有*e(x)?x?x?*(1.1)称正数?为近似值x的绝对误差限，简称误差.这样得到不等式xx?x? 工程中常用x?x?表示近似值

7、x的精度或真值x所在的范围. 误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程 度 如量5000ms1230.5cm1.230.005m1230000(1.2)为此，我们需要引入相对误差x*?x:er(x*)为近似值x*的相对误差.当 定义1.2用x?0作为量x的 近似，称 x x 是 x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差er(x)? (1.3)x*2显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化 如式(1.2) 中的量 s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值x的相对误差 限？r(x*)，它是相对误差绝对值的较

8、小上界.结合式(1.1)和(1.3), x 相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即r(x)(x*)x*(1.4)为给出近似数的一种表示法,使之既能表示其大小,又能体现其精确程度,需引入有效数字以及有效数的概念定义13设量x的近似值x有如下标准形式*mx?10?0.a1a2?an?ap*=?a1?10m?1a210m2an10mnap10mp(1.5)其中aiip,?,9且a1?0, m为近似值的量级.如果使不等 式 ?1?0,1x?x?*110mn 2(1.6)成立的最大整数为n,则称近似值x具有n位有效数字，它们分别是a1、 a2、 和an.特别地，如果有n?p,即最后一位数字

9、也是有效数字，则称 x*是有效数.从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在 位置的单位一半是绝对误差限. 利用该定义也可以证明，对真值进 行“四舍五入”得到的是有效数. 对于有效数，有效数字的位数等于 从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数. 注意，不能给 有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度.例1.1设量X?,其近似值x1?3141, x2?3142, x3?22. 试回答这三个近 7似值分别有几位有效数字,它们是有效数吗？解 这三个近似值的量 级m?1，因为有111021013 2211*314 x2?x?0.0004?0.0005?10?1022x3?

10、3.142857142857?11*?21?3x3?x?0.001?0.005?10?1022*所以x1和x3都有3位有效数字，但不是有效数.x2具有4位有 效数字,是有效数.x1?x?0.00059?0.005?二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播,即假设自变量带有误差,函数值的计算不引入新的误差.对于函数y?f(x1,x2,?,xn)有近似值 y?f(x1,x2,?,xn)，利用在点*(x1,x2,?,xn)处的泰勒公式(taylor formula),可以得到e(y)?y?y?其中 fi：?*f(x,x,xi*1*2i?1nn*n)(xi*?xi)(1.7)f(x,x,xi*1*2i?1

11、*n)e(xi*)f,xi*是xi的近似值，e(xi*)是xi*的绝对误差(i?1,2,?,n)式(17)表 明函？xi数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为 相应的偏导数值 从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播 近似计算公式xi*er(y)?fi(x,x,?,x)*er(xi*) (1.8)yi?1对于一元函数y?f(x)，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式 e(y*)?f?(x*)e(x*) (1.9)*n*1*2*nx*er(y)?f?(x)*er(x*)y*(1.10)式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误

12、差比 较小，函数值的绝对误差也可能很大例 1.2 试建立函数 y?f(x1,x2,?,xn)?x1?x2xn的绝对误差 (限)、相对误差*的近似传播公式，以及 xi?0i?1 时的相对误差限传播公式n解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式 如下 e(y)?*f(x,x,xi*1*2i?1n*n)e(x)=?e(xi*)*ii?1n(1.11) (1.12) nxi*xi*er(y)?fi(x,x,?,x)*er(xi)=?*er(xi*)yi?1i?1yn*1*2*n进而有e(y)?*e(x)e(x)(x)i?1i?1i?1nnn 于是有和的绝对误差限近似传播

13、公式 ?(y)?*当 xi?0*(xi?1n*i)i?1时，由式(13)推得相对误差限的近似传播公式 nr(y)*(xi?1n*i ) y*i?1*innn亠 亠亠亠xi*xi* r(xi)maxr(xi)*1inyi1y xi* maxr(x)*maxr(xi*)1?i?n1?i?ni?1y.3 例 1.3 使用足够长且最小刻度为 1mm 的尺子，量得某桌面长的 近似值 a?1304mm,宽的近似值b?7048mm (数据的最后一位均为估计值).试 求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位,尺子的最小刻度是毫米 故有误差限 ?(a*)?0.5mm, ?(

14、b*)?0.5mm*面积s?ab,由式(17)得到近似值s?ab的绝对误差近似为*e(s*)?b*e(a*)?a*e(b*) 进而有绝对误差限*(s)b(a)a(b)704.80.51304.30.51004.55 mm2 相对误差限 ?r(s)?*(s*)s*1004.550.00110.11%1304.3?704.81.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法,但 算法的性能并不完全相同,他们各自有自己的适用范围,并进而指出算法设计时应该注 意的事项算例 1.1 表达式111?,在计算过程中保留 7 位有效数字,研究对不同的xx?1x(x?1)x,两种计算公式的计算精度的差异.说明 1：matlab 软件采用 ieee 规定的双精度浮点系统,即 64 位浮 点系统,其中尾数占 52 位,阶码占 10 位,尾数以及阶码的符号各 占1位.机器数的相对误差限(机器精度)eps=252111?和算法2： y2(x)?的误差时，精确解用双精xx?1x(x?1) 度的计算结果代替.我们选取点集?i30i?1中的点作为x,比较两 种方法误差的差异从图 1.1 可以看出,当 x 不是很大时,两种算法的精度相当，但当x很大时算法2的精度明显高于算法1.这是因 为，当 x 很大时，11和是相近数，用