《高一数学函数的对称性和周期性精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学函数的对称性和周期性精讲（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学：关于函数的对称性单个函数的对称性1. /(6?+x)=/(d-x)O函数y=/(x)的图象关于X=d呈轴对称(此为结论，请记住！)2说明1：看图像，发现Q+X与b-X的中间值为=匕,22且两个函数值f(ci+x)=f(b-x)相等，故函数y=/(x)的图象关于x=宀呈轴对称.2反之亦然！说明2：用x-a代替,得到/(x)=f(b-(x-a)=f(a+b-x)考察图像上的任一点(x0,/(x0)，其关Tx=苇匕的对称点为(a+b-x0,/(x0)因为/(Xo)=f(a+b-x0),故点(a+b-x0,/(x0)=(a+b-xQ,f(a+b-叼)也在图像上,即函数y=/(x)的图象关于x
2、=亠呈轴对称2注：高一阶段，看了以上两种说明，还不如不看，请直接记住这个结论，能看出对称轴即可！举例：已知/(-x-l)=/(x-l),求=/(X)的对称轴？解：因为上土=-1,故y=/(x)的对称轴为x=-1.22. 函数y=f(x+a)是偶函数of(a+x)=f(a-x)O函数y=f(x)的图象关于x=a对称O/(x)=f(2a-x)举例：已知y=/(x-l)为偶函数，求y=/(x)的对称轴？解：令g(x)=/(x-l),则g(x)为偶函数，故g(-x)=g(x),由gGxX/Xxl),nTf(-x-1)=/(x-1),故y=/(x)的对称轴为X=-1.3. f(a+x)+f(b-x)=0
3、O函数y=/(x)的图象关于点(,0)呈中心对称.2说明1：看图像，发现a+x与b-x的中间值为Q+=22且两个函数值/(a+x)=-f(b-x)互为相反数，故函数y=/(x)的图象关于点(3,0)呈中心对称.反之亦然！2说明2：)x-a代替x,WJiJ/(x)+f(b-(x-a)=f(x)+f(a+b-x)=0,即一/(x)=/(a+b-x)考察图像上的任一点(x0,/(x0),其关丁点(亠,0)的对称点为(a+b-x0-f(x0)2因为一f(x0)=f(a+b-x0),故点(a+b-x0,-/(x0)=(a+b-x0,f(a+b-x0)也在图像上，即函数y=/(x)的图象关于点(3,0)呈
4、中心对称.2注：高-阶段，看了以上两种说明，还不如不看，请直接记住这个结论，能看出对称中心即可！举例:已知/(-x-1)=-/(x-1),求y=f(x)的对称中心?解：因为_T+GT)=_,XL/(_x_i)+/(x_i)=o,故y=/(x)的对称中心为(-1,0).24. 函数y=/(x+a)是奇函数Of(ci+x)=-f(ci-x)O函数y=/(x)的图象关于点(a,0)对称Of(x)=-f(2a-x)举例：C知y=/(x-l)为奇函数，求y=/(x)的对称中心？解：令g(x)=/(x-l),则g(x)为奇函数，故g(-x)+g(x)=0,即g(x)+g(x)=/(-x-l)+/(x-l)
5、=0,故y=f(x)的对称中心为(-1,0)5. f(a+x)+f(b-x)=co函数y=/(x)的图象关于点(=,2)呈中心对称.22说明1：看图像，发现尢与b-x的中间值为亠土壬=土，22且两个函数值f(ci+x)+f(b-x)=c，其和为c,即两个函数值的中间值为,2故函数y=/(x)的图象关于点(2?)呈中心对称-反之亦然！22说明2：丿IJxa代替x,/(x)+f(b-(x-6?)=/(x)+f(a+b-x)=c,BPc-/(x)=/(a+d-x),考察图像上的任一点(x0,/(x0),其关于点(?)的对称点为(a+b-x0,c-/(x0),因为c一/(x0)=f(a+b-x0),2
6、2故点(a+b-x0,c-/(x0)=(a+b-x0,f(a+b-x0)也在图像上,即函数y=/(x)的图象关丁点呈中心对称一22注：高一阶段，看了以上两种说明，还不如不看，请直接记住这个结论，能看出对称中心即可！举例：已知/(-x-l)=2-/(x-l),求y=/(x)的对称中心？解：因为*1+(7一1,且心-1)+心-1)=1,故=/(x)的对称中心为226. 函数y=/(x+a)_b是奇函数Of(ci-x)-b=-f(a+x)-bf(a-x)+f(a+x)=2bO函数y=/(x)的图象关丁点(a,b)对称O/(x)=2b-f(2a-x)举例：C知y=/(x-l)+l为奇函数，求y=/(x
7、)的对称中心？解：令g(x)=/(x-l)+l,则g(x)为奇函数，故g(x)+g(x)=0,即g(-x)+g(x)=/(-x-l)+l+/(x-l)+l=0,即/(-x-l)+/(x-l)=-2,故y=/(x)的对称中心为(-1-1).二.两个函数的对称性(高一现阶段暂时不说!)高一数学：关于函数的周期性一. 周期函数的定义：函数/(x)在其定义域内，对任意的x都存在一个常数:T(70),使得/(x+T)=/(x)成立，则称函数/(x)是周期函数，丁叫做函数/(X)的一个周期.(注：以后T专指最小正周期)设T是函数/(X)的一个周期，贝WT(上丘乙上工0)也是函数/(X)的周期.问1：有没有
8、一个函数是周期函数，但是没有最小正周期？答：有，常数函数就是！问2：个周期函数的最小正周期与其他周期什么关系？答：如果一个函数存在最小正周期，那么其他的周期必是最小正周期的非零整数倍！问3：在a去b的时候,f(a+x)=f(b-x)f(a+x)=f(b+x)分别表示什么?答：f(ci+x)=f(b-x)表示/(x)的对称轴为x=纟上2:2而f(a+x)=f(b+x)表示/(x)的周期为T=a-b.二. 常见结论(注：此处:T专指最小正周期，默认。工0)(1)若/(X)对定义域内的任意x都有f(x+a)=-f(x)t则T=2a.推广：若/(x)对定义域内的任意工都有/(x+a)=m-f(x),则
9、T=2a.(当加=0时，即(1)证明：用x+a代替f(x+a)=m-f(x)中的x,得到f(x+la)=m-f(x+a):于是f(x+2a)=m-f(x+a)=m-m-/(x)=f(x),得证.(当m=0时，即(1)的证明！)举例1：已知/(x-l)=/(x+3),求y=/(x)的周期？解：因为x+3(xl)=4,故=/(x)的周期为T=4.举例2：已l/(x-l)=-/(+3),求=/(x)的周期？解：用x+1代替工，得到f(x)=-f(x+4)(1)川x+4代替x代入(1),得到/(x+4)=(x+8)(1)由(1)(2)得：f(x)=-f(x+4)=-(-f(x+8)=f(x+8),故y
10、=f(x)的周期为T=8.举例3：已知/(x-l)=2017-/(x+3),求y=/(x)的周期？解：用x+1代替X,得到/(x)=2017-/(x+4)(1)用x+4代替x代入(1),得到/(x+4)=2017-/(x+8)(1)由(1)(2)得：/(x)=2017一f(x+4)=2017一(2017-f(x+8)=f(x+8),故的周期为T=8.(2) 若/(x)对定义域内的任意；都有/(工+a)=土，则T=2a.(3) 若/(X)对定义域内的任意X都有/(x+a)=-一,则T=2a.#(加工0),则T=2a.推广：若/(x)对定义域内的任意t都有/(X+a)=mni证明：川x+a代替f(
11、x+a)=中的得到f(x+2a)=/Wf(x+a)于是心52盘厂盂(小得证举例1：已知f(xl)=,求y=/(X)的周期?/(X+3)解：川小代替厂得到心)=E，服+4代替申入，得至时(2)由(1)(2)得：/(x)=一-一=/(x+8),故y=f(x)的周期为7=8/(x+4)2/(x+9)举例2：已l/(x-l)=201,求y=/(x)的周期?/(X-3)解：JIJx+1代替x,得到/(x)=2017(1),JIJx-2代替工代入(1),得到/(x-2)=2017(2)f(x一2)f(x一4)由(1)(2)得:/=2017/(x-2)-2017-2017=/(x-4),故y=/(x)的周期
12、为7=4举例3：已知/(X1)=,求=/(x)的周期?/Xx3)解：令一x3,则一xl=t+2得到f(t+2)=137(o(1);用“2代替(代入，得到八讣E(2)1313宙(1)(2)得：/a+4)=-=-=/(0,故=fix)的周期为7=4.+2)J2-/(0注：以上(1)(2)(3)都为半周期表达式，最好一眼看出半周期为多少，从而得到周期！注：思考的方式很灵活，比如/(x)=f(x+2)O/(-x)=/(-x+2)O/(x-2)=/(x)O/X_x_2)=/(-x)O/(x-1)=/(x+1)f(-x+1)=f(-x-1)O/(x-2017)=/(x-2015)说明的都是同-本质，即丿=
13、/(x)的周期为T=2,(包括/(/nx)=f(mx+2)也是说明这点).-4(4) 若/(x)的图象关于r=且同时关于x=b(ab)对称，则T=2a-b.证明：/(x)=f(2a-x)=f(2b-(2a-x)=f(x+lb-la),得证.举例：C知/(x+1)与/Xx-l)都是偶函数，求证：/(x+2017),/(x-2017)也都是偶函数？证明：/(x+1)是偶函数，说明：y=f(x)的一条对称轴为x=l;/(x-1)是偶函数，说明：y=/(x)的一条对称轴为x=-l；故V=/(x)的周期为4,/(x+2017)=/(x+l),/(x-2017)=/(x-l)即/(x+2017),/(x-
14、2017)也都是偶函数.注：可以得到y=/(x+2nl)(其中/?gZ)都是偶函数.(5) 若/(X)的图象关于(a,0),且同时关于(6,0)(。工6)对称，贝iT=2a-b.推广=若/(x)的图象关丁(a,加)，且同时关丁对称，则T=2a-b.证明：f(x)=2m-f(2a-x)=2m-2m-f(2b-(2a-x)=f(x+2b-Id),得证举例：已知f(x+1)-/(x-1)都是奇函数,求证：/(x+2017),/(x-2017)也都是奇函数?证明：/(x+1)是奇函数，说明：y=f(x)的一个对称中心为(1,0)；/(x-1)是奇函数，说明：y=/(x)的一个对称中心为(-1,0)：故
15、y=f(x)的周期为4,Sfcf(x4-2017)=f(x+1),/(x-2017)=/(x-1)即/(x+2017),/(x-2017)也都是奇函数.注：可以得到y=/(x+2nl)(其中応Z)都是奇函数举例：已知f(x+1)-1与f(x-l)-1都是奇函数，求证：/(x+2017)-1,/(X-2017)-1也都是奇函数?证明：/(x+l)-l是奇函数，说明：y=f(x)的一个对称中心为(1-1)；/(x-l)-l是奇函数，说明：y=f(x)的一个对称中心为(-1,-1)；Uy=f(x)的周期为4,/(x+2017)-l=/(x+1)-1,/(x-2017)-l=/(x-l)-l即f(x+2017)-1,f(x-2017)-1也都是奇函数.注：可以得到y=/(x+
