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1、動態的卡當公式解李政豐國立竹南高級中學數學教師摘要閱讀陳昭地、朱亮儒和洪有情教授的文章三次函數圖形的三個超額特徵後（1），我們想把一元三次方程式的根做一個視覺化的表徵來呈現，於是由卡當公式著手思考一元三次實係數多項方程式的實根，在直角坐標系中，可以多項式函數圖形與X軸交點的x坐標來表示，但是虛根則無法看見。我們藉由Geogebra讓複數坐標系與直角坐標系同時呈現，配合高中數學對複數方根的定義，將卡當公式中出現分布在三個圓上的9個複數。這些數共分三組，每組的三個複數顏色相同（不一定在同一圓上），當係數變動的時候，各組同色的三個複數，輪番上陣擔任這個方程式的三根，讓學生體會根的變化，以及實係數多項
2、方程式虛根成對的性質。也利用主根與原根的性質，明確的把三根定位，讓學生可以將卡當公式融會貫通。關鍵字：Cardano公式，反曲點，資訊科技融入數學教學，主根，原根。壹、弓I言一元三次實係數多項方程式a3x3a2x2axa。=0,a-0，由二次導函數為0;f（x）=6a3x2a2=0，得到反曲點（一,f（屯），把方程式以反曲點的x3a33a3坐標作平移x=x生，x=x亜代入方程，可消二次項，讓它變成xpx3a33a3+q=0。乘法公式（u+v）3=u3+v3+3uv（u+v）得到（u+v$3uv（u+v）-（u3+v3）二0.將x3p/0與它互相比對：當p-3uv且q-（u3v3）的條件下,xu
3、v就是方程式x3px、q=0的根。可是u,v要如何求得？3由條件u3v-q,u3v3A，根據Vita公式，已知兩根之和與兩根之積，273就知道u3,v3為方程式x2qx0的兩根。由二次方程式根的公式，27232uqp,nL+p2-427，2427i=0,1,2.其中.二13是x3=1的原根。u3v-q是必然重要的是u，v必須要滿足u-i，卡當公式告訴我們:“3一；*3-；,x2=时扌+Jd+时2X3=汽-、d*w3_-.d就是方程式宀px+q=0的三根其中手丐=一2哼.貳、本文但是根據現行高中數學課程的定義，我們碰到了困難，例如上式中若q二2,d=-1,丁-1+i代表三虛根，還是其中的某一個虛
4、根？我們沒有定義(卡當的年代或許有)。但是在高中數學內容x-1i是可以算的。因此我們有必要釐清：口3r2Tu3q：qP,v3q_,q.p的解,v要如何表示？2V4272V427令u,v是未知數，q,d是已知數；設xp是u3=+百的主根，若R=,+Vd的主幅角是日，p222080乞八：2二，則主根Xp=3R(cosisin)，主根的主幅角永遠在0到二之間,33則方程式2d的三根為xp,xp,Xp2。設Xm是V3弓朋的主根，二-坊,弓的主幅角是:,0一:：2二，則主根xm=3r(cosisin)，方程式v3q-d的三根為xm,332x,xm-2。則x3px，q=0的三根將由uXp,xp,xp2,%
5、Xm，Xm2，以八搭配而成但須滿足吩于的條件。於是我們必須做以下的分類：(1)d0(a)q,d_0且.d_0；R-q2X00X12于盲的主根XP的主幅角為的主根Xm的主幅角為0,0,=xp灼+xm国2=VR(cos+isin33二三(3R3r)+三(3R3.r)i,22xp=3R(cos0isinO),X=3r(cosOisinO),2)汗(4二cosi34二sinT)=xp2+x掴=VR(cos+isin)+富(33二T(3.Rr)辽(？R-3r)i,22X00為實根，为2,X21為共軛虛根，它是一實二虛根。X21cosi32二s怙)22上圖中在X軸上藍色點X00是實根，在二、三象限以X軸對
6、稱的藍色點X12、X21為共軛虛根。由於虛根成對，所以他們分屬於兩個圓上。(b)-.d_0且-,d:：:0;22r,d的主幅角為0,二-,的主幅角為二.22u3$、d的主根x=3R(cos0isinO),2pv39-d的主根Xm=3r(cosisin),233=3R(cos台isin3JIcosisin3xi=Xp-Xm：h3、R3_r,=三(3卞-3匚)+仝(3、R+：F)i,2222344355：x22二xp，-xm二一R(cosisin).r(cosisin)3333=勺(3卞-3匚)一乜(3.R+3.r)i,22X01為實根，Xi0,X22為共軛虛根，它是一實二虛根。如上圖中紫色的X0
7、1為實根，在二、三象限以X軸對稱的紫色點X10,X22為共軛虛根，它也是一實二虛根。由於虛根成對，所以他們分屬於兩個圓上。(02-d:0且d=:0,R=2-qu3=+Vd的主根xp=R(co+isin),233v3q-、d的主根xm二3r(cosi23sin3)，X11=XpXm-3一R-：r,X20二xp2xm二3R(cos5isin乞)3r(cosisin)3333=2(3r3匚)+乎(汗3R)i,23江応3尸5江5让=Xp+xm2=VR(cos+isin)+V(cos+isin一)3333=1(3R+3,F)乜(3匚_3,R)i,22X11為實根,X20,X2為共軛虛根，它是一實二虛根。
8、X025如上圖中X軸上紅色的點X11為實根，在一、二象限以X軸對稱的紅色點X20,X02為共軛虛根，它也是一實二虛根。由於虛根成對，所以他們分屬於兩個圓上。(dd:：0且二fd0，因為d0，這種情形不會發生，故不予22討論。(2)d=02-0,R=rXp=Xm二3R(cos0isinO),Xoo=XpXm=2JR，X12丄2=Xp，Xm=7R(cos+isinR(cos+isin)=-R,333334.4.32.2：3=、R(cosisin)3R(cosisin)=一3R,3333Xoo,X12,X21為三實根，它是一單根二重根。X21如上圖中X軸正向的藍色點Xoo為正實根是單根，X軸負向的藍
9、色點X12,X21為負實根是重根，它是三實根，由於有重根，所以它們分屬於兩個圓上。(b)-q：o,R=r2-q2二宁的主根Xp=3R(cosi3jisin3),宀宁的主根KS叫),心=xpxm=23、R(cos二isin:)=-23R,X20Xm二3R(cos5isin)3R(cosisin)=3R,3333x02二xpxm2二：R(cos-兀严5兀isin)、，R(cos-33isin)=、R,3X11,X20,X02為二實根，它也是一單根二重根Xii,X20,X02為二實根，它也是一單根二重根。如上圖中X軸負向的紅色點X11為負實根是單根，X軸正向的紅色點X20,X02為正實根是重根，它是
10、三實根，由於有重根，所以它們分屬於兩個圓上。(3)d0(a)子0,R0:二Tt22Q3ji6号匸i的主幅角二,的主根Xp二3R(cos3eS3)，-q2小亍-，石的主幅角（2）,Xm=3R(cos(2)i33X02二Xpxm2=3R(cosisin32-sin(),33in)3R(cos(2)isin(2二33=2麻舞為實根,X20二Xp，Xm3c443-2.2二=R(cos()isin()iR(cos()isin()33333333=23Rcos(-)為實根，因為(4)(2)=2二，333333心=Xp；xm-二3R(cos(2)isin(2)3R(cos(4)-isin)333333333
11、242二=2Rcos()爲貫根，因爲()+(+)=2鳥333333故X02,X20,X11為三個不等實根。X20,X11為三個不等實根。由於絕對值不同,如上圖X軸上三個紅色點X02故分屬於三個不同的圓上。(b)Jiji0Ji:二1:二,0+0且二-茴工022一實二虛根二+百工0且二-石V022一實二虛根q“d0且一q-Vd022一實二虛根d=0一9A02三實根（一單根二重根）02三實根（一單根二重根）dcO兰工02三貫根（三個不等貫根）0三貫根（三個不等貫根）2叁、結語現在的學生是幸福的，在資訊科技尚未普及的年代，我們靠著手算去解決問題，複雜費時的計算耗盡讀者精力，也不容易將算得的結果驗證是否
12、正確，難怪中學數學老師望之卻步，使得卡當公式僅流於公式，背公式的中學生看不見根在哪裡？也不知道公式的參數變動時圖形會有哪些變化？理論與實際有一段看不見的鴻溝，但是藉由Geogebra的視覺化表徵，我們把卡當公式與高中數學複數方根的定義連貫起來，對於解三次方程式的實驗教學，我們又拾回數學教室的快樂，我想卡當若在必感欣慰。不過我最要感謝的是陳昭地老師的指導，及免費軟體Geogebra的原著奧地利數學家MarkusHohenwarter（2），還有在台灣大力推廣的台師大數學系教授左台益老師的團隊。肆、參考資料1、朱亮儒、洪有情、陳昭地。三次函數圖形的三個超額特徵，科教月刊第335期，P.21P.35民99年12月。2、Geogebra官方網址http:/www.geogebra.org/cms/zh_TW/download
