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1、极值点偏移 5 大套路12已知 f x xlnx mx x，m R若 f x 有两个极值点 x1， x2 ，且 x1 x2，2证： x1x2 e2（ e为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路2证法 1：欲证 x1x2 e2，需证 ln x1 ln x2 2x1，若f x有两个极值点 x1 ，x2 ，即函数 f x有两个零点又f x lnx mx ，所以，x2 是方程 f x 0的两个不同实根于是，有 llnnx1 mx1 0 x2 mx2 0ln x1 ln x2，解得 m 1 2x1 x2另一方面，由ln x1 mx1 0ln x2 mx2 0得 ln x2 ln x1 m x2 x
2、1 ，要证 ln x1 ln x2 2 ，即证：t 1 ln t2， t 1即：当 t 1时，t1有lnt 2 t 1t1设函数 h t ln t 2 t 1 ，t1t1，则h t 1 2 t 1 2t 12t12 0 ， t t 1 2ln x2 ln x1 ln x1 ln x2 从而可得， 2 1 1 2 x2 x1x1 x21 x2 ln x2 于是， ln x1 lnx2ln x2 lnx1 x2 x1x1x1x2 x1x2 1x1x2x1， t 1又0 x1 x2，设 t x2 ，则t 1因此， ln x1 lnx21 t lntx1t 1所以， h t 为 1. 上的增函数注意到
3、， h 1 0 ，因此， h t h 1 0ln x1 ln x2 2 成立，2x1 x2 e 于是，当 t 1时，有 ln t 2 t 1 所以，有t1解法二 变换函数能妙解2证法 2：欲证 x1x2 e ，需证 ln x1 ln x2 2若 f x 有两个极值点 x1 ，x2 ，即函数 f x 有两个零点又 f x ln x mx ，所以， x1 ， x2是方程 f x 0 的两个不同实根显 然 m 0 ，否则，函数 f x 为单调函数，不符合题意ln x1 mx1 0由 ln x ln x e2 x22 mx12 0 ln x1 ln x2 m x1 x2 ，即只需证明 m x1 x2
4、2 即可即只需证明 x1 x2 x 1,e ，h x 2 2 0 ，故 h x 在 1,e ， xe m设 g x f x f 2 x x 0, 1mm22 mx 1 ， g xx 2 mx0 ，故 g x 在0,m由于 f x 1 m 1 mxxx1,，故 f x 在 0mm12设 x1x2 ，令 x x1 ，则 f x2 f x1 fx1mm又因为 x2，2 x11 ,mm，f x 在 m1 ,22，故有 x2x1 ，即 x1 x2原m命题得证解法三 构造函数现实力ln x ln x 证法 3：由 x1， x2 是方程 f x 0的两个不同实根得 m ，令 g x xx g x1 g x2
5、 ，由于 g x 1 ln2 x ，因此， g x 在 1,e ， e, x2 2e 设1 x1 e x2 ，需证明 x1x2 e2 ，只需证明 x10,e ，只需证明x2e2x2，即 f x2 f，即 g x g 1 0 ，故 f x f 2 x mm故 h x h e 0 ，即 f x f2 e令 x x1 ，则 f x2 f x1 f2 exx1，因为 x2 ，2 x1 x2 e 2 e x12 e e, ， f x 在 e,，所以 x2，即x1t1 mett12 t1 ett2 met2 t2t2t1t1 t 2，设 k t1 t2 0，则t1kkek ，e1k2k 欲证 x1x2 e
6、 ， e1需证 ln x1 ln x22 即只需证明 t1 t2 2 ，即k 1 ek2ke1k 1ek2ek1 k 1ek2ek10 设解法四 巧引变量（一） 证法 4：设t1 lnx1 0,1 ，t2 lnx2 1, ，则由 llnn xx12 mmxx12 00得g k ln k2 k 1k1k 0,1 ，gk0 ，故 g k 在 0,1，因此g k k 1 ek2 ek1 k 0，gkkekek1，gkkek0，故 g k 在,0 ，故 g k g 0 0，故 g k 在 ,0 ，因此 g k g 0 0 ，命题得证解法五 巧引变量（二）ln x1 mx1 0证法 5：设 t1 lnx1 0,1 ，t2 lnx2 1, ，则由 llnn xx12 mmxx12 00t1met1t1t1 t 2t1k ln kln k21 t 1 e1 ln k ln k 0 ，设k 1 k 1 k 1 ，设 1 k 0,1 ，则 t1， t2欲证 x1 x2 e ，需t2met2t2t2k 1k 1证 ln x1 ln x2 2，即只需证明 t1 t2 2 ，即k 1 ln k 2 k 1 2 k 1g k g 1 0 ，命题得证
