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1、极值点偏移 5 大套路12已知 f x xlnx mx x,m R若 f x 有两个极值点 x1, x2 ,且 x1 x2,2证: x1x2 e2( e为自然对数的底数)解法一:齐次构造通解偏移套路2证法 1:欲证 x1x2 e2,需证 ln x1 ln x2 2x1,若f x有两个极值点 x1 ,x2 ,即函数 f x有两个零点又f x lnx mx ,所以,x2 是方程 f x 0的两个不同实根于是,有 llnnx1 mx1 0 x2 mx2 0ln x1 ln x2,解得 m 1 2x1 x2另一方面,由ln x1 mx1 0ln x2 mx2 0得 ln x2 ln x1 m x2 x
2、1 ,要证 ln x1 ln x2 2 ,即证:t 1 ln t2, t 1即:当 t 1时,t1有lnt 2 t 1t1设函数 h t ln t 2 t 1 ,t1t1,则h t 1 2 t 1 2t 12t12 0 , t t 1 2ln x2 ln x1 ln x1 ln x2 从而可得, 2 1 1 2 x2 x1x1 x21 x2 ln x2 于是, ln x1 lnx2ln x2 lnx1 x2 x1x1x1x2 x1x2 1x1x2x1, t 1又0 x1 x2,设 t x2 ,则t 1因此, ln x1 lnx21 t lntx1t 1所以, h t 为 1. 上的增函数注意到
3、, h 1 0 ,因此, h t h 1 0ln x1 ln x2 2 成立,2x1 x2 e 于是,当 t 1时,有 ln t 2 t 1 所以,有t1解法二 变换函数能妙解2证法 2:欲证 x1x2 e ,需证 ln x1 ln x2 2若 f x 有两个极值点 x1 ,x2 ,即函数 f x 有两个零点又 f x ln x mx ,所以, x1 , x2是方程 f x 0 的两个不同实根显 然 m 0 ,否则,函数 f x 为单调函数,不符合题意ln x1 mx1 0由 ln x ln x e2 x22 mx12 0 ln x1 ln x2 m x1 x2 ,即只需证明 m x1 x2
4、2 即可即只需证明 x1 x2 x 1,e ,h x 2 2 0 ,故 h x 在 1,e , xe m设 g x f x f 2 x x 0, 1mm22 mx 1 , g xx 2 mx0 ,故 g x 在0,m由于 f x 1 m 1 mxxx1,,故 f x 在 0mm12设 x1x2 ,令 x x1 ,则 f x2 f x1 fx1mm又因为 x2,2 x11 ,mm,f x 在 m1 ,22,故有 x2x1 ,即 x1 x2原m命题得证解法三 构造函数现实力ln x ln x 证法 3:由 x1, x2 是方程 f x 0的两个不同实根得 m ,令 g x xx g x1 g x2
5、 ,由于 g x 1 ln2 x ,因此, g x 在 1,e , e, x2 2e 设1 x1 e x2 ,需证明 x1x2 e2 ,只需证明 x10,e ,只需证明x2e2x2,即 f x2 f,即 g x g 1 0 ,故 f x f 2 x mm故 h x h e 0 ,即 f x f2 e令 x x1 ,则 f x2 f x1 f2 exx1,因为 x2 ,2 x1 x2 e 2 e x12 e e, , f x 在 e,,所以 x2,即x1t1 mett12 t1 ett2 met2 t2t2t1t1 t 2,设 k t1 t2 0,则t1kkek ,e1k2k 欲证 x1x2 e
6、 , e1需证 ln x1 ln x22 即只需证明 t1 t2 2 ,即k 1 ek2ke1k 1ek2ek1 k 1ek2ek10 设解法四 巧引变量(一) 证法 4:设t1 lnx1 0,1 ,t2 lnx2 1, ,则由 llnn xx12 mmxx12 00得g k ln k2 k 1k1k 0,1 ,gk0 ,故 g k 在 0,1,因此g k k 1 ek2 ek1 k 0,gkkekek1,gkkek0,故 g k 在,0 ,故 g k g 0 0,故 g k 在 ,0 ,因此 g k g 0 0 ,命题得证解法五 巧引变量(二)ln x1 mx1 0证法 5:设 t1 lnx1 0,1 ,t2 lnx2 1, ,则由 llnn xx12 mmxx12 00t1met1t1t1 t 2t1k ln kln k21 t 1 e1 ln k ln k 0 ,设k 1 k 1 k 1 ,设 1 k 0,1 ,则 t1, t2欲证 x1 x2 e ,需t2met2t2t2k 1k 1证 ln x1 ln x2 2,即只需证明 t1 t2 2 ,即k 1 ln k 2 k 1 2 k 1g k g 1 0 ,命题得证