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1、点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线 和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线 方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线 与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。- x 2 y 2,.【定理1】在椭圆云+ b- = 1 (a b 0)中，若直线憧椭圆相交于M、n两点,点P(x。,yo)是弦邮的中点,弦岫所在的直线I的斜率为kMN，则kMN证明：设M、N两点的坐标分别为(气,yi)、(%，2)一(2)，
2、x 2 - x 2 y 2 - y 2 得-4A + 1 bJ - 0.1. Ai =-生.又 x - x x + xa2MNy .k2xx MN xx 2【定理2】在双曲线一，a2 b2(a 0，b 0)中，若直线，与双曲线相交于M、N两点，点 P(x。，y。)是弦邮的中点,弦邮所在的直线I的斜率为kMN，则kMNL=竺 x a2 0k - b-=i,(1)证明：设m、n两点的坐标分别为(x , y )、(x , y )22=1.(2)I a 2 b 2-=一(2)，一 y一 y22b2b2a 2, y- y又,: k=-+MN x- x【定理3】在抛物线y2 = 2mx(m。0)中,若直线
3、憧抛物线相交于M、N两点,点P(x,y0)是弦邮的中点,弦邮所在的直线/的斜率为kN ,则气-。5 -证明：设m、n两点的坐标分别为3 , y )、(尤，y )，则有11()1 12 2 侦 2 = 2mx (1) - (2)，得 y 2 - y 2 = 2m(x - x ).二 一七-(y + y ) = 2m.1212 X - X 21又k= -, y + y = 2 y .二 k - y = m.MN x - X 210 MN 0注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2)直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆节+学=1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B两点，
4、使线段AB被P点平分，求此直线的 方程.【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y1=k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2+1)x28(2k2k)x+4(2k1)216 = 0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2, y2)，. .矿、8(2k2-k)一. o .则 x1、x2是(*)方程的两个根，.x1+x2= 4k + 1 .-x, + xo 4(2k2 - k)1.P为弦AB的中点，2=七二=.解得k=1，.所求直线的方程为x+2y4=0.24k2 +12法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，VP为弦 AB 的中点，.x1+x2=4, y1+y
5、2=2.又A、B 在椭圆上，.x2+4y2=16，xg+4y2=16.两式相减，得(x2x2)+4(y2y2) = 0，12,y1 - y2- (x1 + x2)(x1+x2)(x1x2) + 4(y1+y2)(y1y2) = 0.x1 _ x2= 4(y1 + y2)即 k=.所求直线方程为 y1 = 一(x2)，即 x+2y4=0.222、已知椭圆%+乏=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.75 25【解答】解：设P (x，y)，A (x1，y1)，B (x2，y2).2222 一.Vi x 1-P为弦AB的中点，.X+x2=2x，y1+y2=2y.贝9奇厂+顶=1，用-+顶=1， ,
6、y? - 1( X 1 4- K 9),-得， 2=-.=3，整理得：x+y=0.变3 _ 置 1 yiy2y%+y=0由子，=175 25解得x= 土五尹所求轨迹方程为：x+y=0.点P的轨迹方程为：x+y=0 （-x）；3、（2013秋启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0, 5五）的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的22中点的横坐标制，则椭圆方程为会+*公.Jc-j _-1 I J22 一 、一 . _ w v一.【解答】解：设椭圆七+%1 (ab0),则a2-b2=50 b2 a2又设直线3x - y - 2=0与椭圆交点为A （x1，y1）, B （x2, y2）,弦AB中点（
7、x0, y0） ,x0号，.代入直线方程得y0=W - 2= - ，22b2b2 a21由72，k2 k2 2 b aAB的斜率k=，1 R=-三旦室-三廷3.廷-1 ,. a2=3b2 们一 s2 b2 ?1+改 b2乳 乳2222联解，可得a2=75, b2=25,.椭圆的方程为：制京=】故答案为：制咨X 2 V 24、例1（。9年四川）已知椭圆云+ （。 b 。）的左、右焦点分别为F、七,离心率率 右准线方程为x 2.（I）求椭圆的标准方程;（II）过点F的直线l与该椭圆相交于M、,-, 2 *26N两点，且I叩+ |= *，求直线l的方程.解：（I）根据题意，得ce =a 2x =竺=
8、2.ca =a b = 1, c = 1. .所求的椭圆方程为兰+ V2 = 1.2（II）椭圆的焦点为F（T,0）、F2（1，0）.设直线l被椭圆所截的弦MN的中点2、26为P（x, V）.由平行四边形法则知：F M + F N = 2F P .由 | F M + F N |=得：2222232626| F2P |=. . (x -1)2 + V2 =.若直线l的斜率不存在，则I上x轴，这时点P与F (-1,0)重合，I F M + F N 1=1 2F F = 4，与题设 1222 1y b 2 v v 11 , 、一相矛盾，故直线1的斜率存在.由k=得： = . y2 = (x2 + x
9、).MN xa 2x +1 x 22代入，得(x 1)2 L(x2 + x) = 26.整理，得：9x2-45x-17 = 0.2 9,172解之得：x =，或x = 3 .由可知，x =皇不合题意.x = 2，从而y = 1. . k =工= 1.3 33 x +1所求的直线l方程为y = x +1，或y = x -1.6、(2009秋工农区校级期末)已知椭峰+*=1的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的I _-1 乙_-1凸中点M，则点M的坐标为(-22【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为(X，4)，(x2, y2)，则*752522，y 2 x 22 _2y iy 2两式相减，得
10、75F ，(y1_ y2)(y*=-3 (x1 - x2)(X+X2)，y 1 y 9 叫+贰.y i y o1 _ % - 3-，因为直线斜率为3，._ 顼宣_ s 2 Vi +y 2K 2,两交点中点在直线 x=* x1+x2=1，.3= - 3x1 (y1+y2)，V1+ 21一 11,11=-万.所以中点 M 坐标为(万，-万). 故答案为：(寻，-寻).7、如图，在RDEF 中，ZDEF = 90,I EF I= 2,I EF + ED I= |椭圆C：x 2y 2一 + = 1，以 E、F a 2b 2为焦点且过点D，点O为坐标原点。(I)求椭圆C的标准方程；(II)若点K满足，问
11、是否存在不平行于EF的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N且I MK I=I NK I，若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。DE Ox 1x 2 v 2 一 1、 解：(1)略：OK = 3ED.彳 + ； = 1，K(II)分析：I MK 1=1 NKI，设MN的中点为H,则KH MN，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法”设M3,y )，Ng 乂),h(x,yo)，直线/的斜率为k以丰0)，3%2+4y22 =12由一得:3(x - x )(x + x ) + 4(y12121-y )(y + y ) = o n 3x2120又I MK I=I NK I，
12、则 KH MN，.y - 1一2 k = -1 ，从而解得 x = 2k,y = -|xoo o 2点H(xo,yo)在椭圆内，则x 2 y 2+ v 1 n k 24 38、已知AB是椭圆兰+ 22 = 1(a b o)不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为 a 2 b 2椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设 A(x , y ), B (x , y )且 x。x ， 112212则酝+比=1，女+蛙=1，(2) a 2b 2a 2b 2(1)-(2)得：b 2 (x + x )kABb 2 (xa 2 (y1又k=yyOP x + xkAB竺-. k B -
13、kp =-竺(定值).OP二、双曲线1、过点P(4,1)的直线l与双曲线彳一y2= 1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程.解析设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2),则* y2 = 1 3 - y2 = 1 ,两式相减得:4(x1 + x2)(x1 - x2) - (y1 + y2)(y1 - y2) = o , P 为 AB 中点，Ax1 +x2 = 8 , y1 +y2 = 2.匚1二1，即所求直线l的斜率为1 ,l方程为y - 1 = x - 4，即x - y - 3 = o. x2-x12、设A、B是双曲线x2与=1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？分析要证明A、B、C、D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、B、C、D四点共圆，则.CD垂直 平分AB,据圆的性质知，圆心在直线CD上，.CD中点M为圆心，只要证明IAMI = IMBI = ICMI = IMDI即可.解析(1)依题意，可设直线AB方程为y = k(x-1) + 2,X2-J,由，2得(2 - k2)x2 - 2k(2 - k)x - (2 - k2)
