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1、毕业论文题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉指导教师：职称：讲师院系： 理学院数学系专业：数学与应用数学班级：10级1班日期：2014年5月傅里叶级数及其应用摘 要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性 质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相 关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里 叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起 源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数 的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序
2、语言，通过 自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而 得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰 富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004-2009 年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最 小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型， 并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁 路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎.关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设
3、计；预测模型Fourier series and its applicationsAbstract: Fourier series is a mathematical analysis of an important concept , and has good geometry and algebraic properties , along with the progress and development of technology, involving a lot of discussion and application of mathematical propositions ,
4、Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier, Lagrange, Dirichlet, Riemann, who contribute in terms of Fourier series , Fourier series introduces the origin and develo
5、pment process, while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design, the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series, via a custom function , the preparation p
6、rocess of drawing functions , the excess part of the graphics processing, graphics , bold lines and other steps, then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast predic
7、tion model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base , by the time series into trend and seasonal part , respectively , using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software find the prediction
8、model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that： Fourier series prediction method to predict the effect of Chinas railway passenger volume better. So to some extent , the Fourier series has been welcomed by many mathematicians.Keywords： Fourier series； convergence； MATL
9、AB software； graphic design； prediction model弓I 言11傅里叶级数的起源22傅里叶级数的严密化52.1狄利克雷条件52.2黎曼引理52.3吉布斯现象与一致收敛62.4连续傅里叶级数的收敛性63傅里叶级数的应用83.1傅里叶级数在图案设计上的应用 83.2傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用143.2.1傅里叶级数预测模型143.2.2 实证分析16小结19致谢20参考文献21在五千年的数学历史长河中，傅里叶级数的诞生和发展，构成了数学史上非常重 要的部分.在无法进行理论证明时，采用直观推断的研究方法在早期的科学研究中已 被广泛应用.由此带来了许多重要
10、发现，傅里叶级数就是其中之一.傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法，直观 地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为 三角级数的条件，也没有给出严格的证明.尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在 一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物 理学的一个时代.在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用， 同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具.在图案设计中，通过傅里叶级 数的变换，可以设计出许多精美的图案.在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测 法，可以为铁路部门安排车次提供
11、可靠的理论依据.所以，探究傅里叶级数的起源发 展及其应用，对于培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用.1傅里叶级数的起源1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日， 在给达朗贝尔的信中称Xt可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到（1）f (x)= % + 工 a cosk=1r l m兀 xn兀 xJ coscosdx = l l因此推出了a =l f （x ）cos住三）dx，k l 0 k l J观察此式的结果可知：（1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为l的偶函数，欧拉得到的三角级数与今 天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.（2）欧拉推
12、出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系 统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法 我们今天仍在使用.然而，他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：并非是 任意的周期函数都可以表示为三角函数.十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事 热传导的研究.他在解如下偏微分方程：d 2T d 2T d 2TdT11= a2 dx2 dy2 dz2dt时得到，初始条件T (x,0 )= f (x)必须有f （x ）= b sink = 1于是，傅里叶面临这样的问题：f （x）能表示
13、成三角级数吗？特别是bk能确定吗？不妨取l =兀，上式简化为f (x)=工b sin kxk=1傅里叶把等式左边f (x)和右边的sin kx展开为幕级数，经过并不严格的推导得到傅里叶敏锐的观察到，qYJ；f(x)sinkxdx就是函数:f(x)sinE区间(0,兀) 上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：每一个周期函 数都可表示为f (x)=工 b sin kx， 0 x兀k=1然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后 他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间(-兀，兀)上都可以表示为(2)f (x)= % + (a cos
14、kx + b sin kx), 丸 v x v 丸k=1傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一 个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶 提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange坚决否认周期函数可以 展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论 文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后 的1822年，他终于出版了专著热的解析理论，直到此时人们才勉强地承认他的思 想.我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方 法不
15、够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质的方法要复杂得多.尽管 存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数 学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且 这种影响至今还在发展之中.(1) 傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题 的解的争论；(2) 傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数 必须由一个解析表达式表示；(3) 傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来. 泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函 数2傅里叶级数的严密化随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许.但严格地讲并不 是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者 柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.2.1狄利克雷条件狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生 了兴趣.1829年他在论文关于三角级数的收敛性中给定并证明了：当f (x)满足 下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：(1) f (x)是单值有界的；(2) f (x)是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点；(3) f (x)是分段单调的，即在一个周期内只有
