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1、上篇 电力系统元件数学模型1 同步电机数学模型1.1 abc坐标下的有名值方程 理想电机 同步电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械运动于一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响，因此应对它作深入分析，以便建立用于研究分析电力系统各种物理问题的同步电机数学模型。 为了建立同步电机的数学模型，必须对实际的三相同步电机作必要的假定，以便简化分析计算。通常假定：（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，既忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响。（2）对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的。 （3）定子的
2、3个绕组的位置在空间互相相差120电角度，3个绕组在结构上完全相同。同时，它们均在气隙中产生正弦形分布的磁动势。 （4）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。 满足上述假定条件的电机称为理想电机。这些假定在大多数情况下已能满足实际工程问题研究的需要，下面的同步电机基本方程推导即基于上述理想电机的假定。当需要考虑某些因素（如磁饱和等）时，则要对基本方程作相应修正。 图1-l是双极理想电机的示意图，图中标明了各绕组电磁量的正方向。必须特别强调的是，后面导出的同步电机基本方程是与图1-l中所定义的电磁量正方向相对应的。下面对图1-1中所定义的各电磁
3、量正方向作必要的说明。定子abc三相绕组的对称轴a，b，c空间互差120电角度。设转子逆时针旋转为旋转正方向，则其依次与静止的a，b，c三轴相遇。定子三相绕组磁链的正方向分别与a，b，c三轴正方向一致。定子三相电流的正方向如图1-1所示。正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用（电枢反应）相对应，有利于分析计算。而定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向则按发电机惯例来定义，即正值电流从端电压的正极性端流出发电机，b相和c相类同。转子励磁绕组中心轴为d轴，并设q轴沿转子旋转方向领先d轴90电角度。在d轴上有励磁绕组f及一个等值阻尼绕组D，在q轴上有一个
4、等值阻尼绕组Q。上述假定一般能满足多机电力系统分析的需要。对于汽轮机实心转子，转子q轴的暂态过程有时需用两个等值阻尼绕组来描写，即除了与次暂态（又称超瞬变）过程对应的时间常数很小的等值阻尼绕组Q外，还应考虑与暂态过程对应的时间常数较大的等值阻尼绕组g，该绕组在暂态过程中的特点与d轴的励磁绕组f对应，只是无电源激励。为简便起见，后面的分析将不考虑g绕组存在。q轴有g绕组时的分析可参考d轴的分析，并令励磁电压为零即可。图1-1 双极理想电机的示意图设d轴的f绕组、D绕组和q轴的Q绕组的磁链正方向分别与d轴、q轴正方向一致，f绕组、D绕组、Q绕组的正值电流产生相应绕组的正值磁动势和磁链，D阻尼绕组、
5、Q阻尼绕组端电压恒为零（短路），励磁绕组电流由其端电压的正极性端流入励磁绕组，与稳态运行时方向一致，转子d轴在空间领先a，b，c三轴的电角度分别为，则 当讨论三角函数值时，或的两种表达形式有相同的值，因而后面将不加区分。下面将以上述电机绕组结构及电磁量正方向定义为基础，导出a相、b相、c相坐标下同步电机有名值方程。方程中各变量及参数的单位均采用法定计量单位。 电压方程由前面所设定子绕组电压、电流及磁链正方向，可写出定子各相绕组电压方程为 （1-1）式中，p=d/dt，为对时间的导数算子；为定子各相绕组的电阻。电压单位为V，电流单位为A，电阻单位为，磁链单位为Wb，时间单位为s。由前面所设转子各
6、绕组的电压、电流及磁链正方向，可写出转子各绕组的电压方程为 （1-2)式中，、分别为f、D、Q绕组的电阻。可把式（1-1）与式（1-2）合并，写成矩阵形式的abc坐标下的电压方程，即（1-3）式中，； ；。这里需特别注意的是式（1-3）中绕组矢量中的前3个元素前有负号，这是由于定子绕组端电压和相电流正方向按发电机惯例设定而引起的。 磁链方程由图1-1所设定的各绕组电流及磁链正方向，可建立起绕组磁链方程，写成矩阵形式为 （1-4)可简写成 (1-5)式（1-4）中为定子绕组的自感（对角元）和互感（非对角元）；为转子绕组的自感和互感；而和为定子绕组与转子绕组相互间的互感。电感单位为H。电感矩阵为对
7、称阵。式（1-5）的各绕组电流矢量中的三项前面也有负号，这是由定子各绕组的正值电流产生相应绕组的负值磁链的假定引起的（参见图1-1）。式（1-5）的电流矢量定义可使电感矩阵中各元素符号与习惯的电感符号一致（如等等）。显然式（1-5）与式（1-3）中的定义一致，均为下面分别讨论式（1-4）中各电感量的物理意义及数学表达式。1.1.3.1 定子绕组自感（，和）以定子a相绕组自感为例进行分析，b相、c相绕组和a相相似。由式（1-4）可知，定子a相绕组自感为当转子d轴与a轴重合时，因为相应的磁阻最小，故（)产生的a相磁链达最大值，亦即当和时，达最大值。而当d轴与a轴正交，即q轴与a轴重合时，因为相应的
8、磁阻最大，故（）产生的最小，亦即当和时，为最小值。由上面分析和理想电机的假定可知，将以180为周期，随d轴与a轴夹角的变化而呈正弦变化，且恒为正值。假定定子绕组自感中的恒定部分为，脉动部分幅值为（见图1-2），则（1-6a)同理可得（1-6b)式（1-6）中，从而，恒为正值。为d轴领先于a轴的角度。对于隐极机，=0，从而=const.；对于凸极机，则，是随转子位置而变化的参数。附录I给出了定子a相绕组电感的导出过程，供参考。图1-2 定子a相绕组电感1.1.3.2 定子绕组互感（,）现以定子a,b相绕组间互感为例进行分析，其他的相绕组间的互感可以类推。定子a、b相绕组间互感定义为且。 由于a、
9、b绕组在空间互差120（大于90），故时，（参见图1-1），即，恒为负值。另外定子绕组间互感与自感相似，也与d轴位置有关，并以180为周期呈正弦变化。可以证明当d轴落后于30(30)或领先a轴150（150）时，达最大值；而=60和=-120时，达最小值。随的变化可参见图1-3。设的定常部分绝对值为，则可以证明在忽略漏磁时定子互感的脉动部分幅值与定子自感的脉动部分幅值相等，也为（见附录I），由前面分析可得（参见图1-3）（1-7a）图1-3 定子绕组互感同理有 （1-7b）式（1-7）中，从而定子互感恒为负值。同样地对于隐极机，由于=0，定子互感为常量；对于凸极机，则定子互感随转子位置而变。.
10、3 转子绕组自感由于转子各绕组自感所对应的磁路磁阻在转旋转中保持不变，故转子绕组自感均为常数，且由前面电流、磁链正方向的定义可知，转子自感均为正值。设（1-8a)同理，D绕组、Q绕组有 （1-8b）.4 转子绕组互感（由于d、q轴互相正交，故d轴上的绕组与q轴上的绕组间的互感为零，即*（1-9a)而转子d轴上绕组f和D间的互感由于其所对应的磁路磁阻在转子旋转中保持不变，因此为常数，其值设为，即（1-9b）.5 定子与转子绕组间的互感中元素）先以a相为例讨论定子绕组与转子励磁绕组f 间的互感。由于转子的旋转，由图1-1可知，a相绕组与励磁绕组间互感将以360为周期变化。当d轴正方向与a轴正方向一
11、致时（=0），a绕组与f 绕组的互感为正的最大值；当d轴与a轴正方向相反时（=180），该互感为负的最大值。又由理想电机的假定可知，将按正弦变化，设其幅值为，则由上面分析可知 (1-10a)同理 （1-10b)同理可导出定子绕组与d轴阻尼绕组D间的互感为（设变化幅值为 （1-11)以及定子绕组与q轴阻尼绕组Q间的互感为（设变化幅值为 （1-12)式（1-12）中的幅角出现（，（，是由于当q轴分别与a，b，c轴一致时，即d轴分别落后于a，b，c轴时，相应的互感为正的最大值。上面给出了式（1-4）中电感阵的全部元素的数学表达式，可以看到，在理想电机的假定下，可得出如下结论：（1）定子绕组的自感和互
12、感均以为周期，按正弦规律脉动变化，其脉动是由于转子凸极引起的，而且定子绕组自感和互感的脉动部分幅值在忽略漏磁通时相等，均为。定子绕组自感为正值，定子绕组互感为负值。（2）转子绕组的自感，互感均为恒定值，f与Q或D与Q绕组间的互感由于d、q轴正交而为零，转子绕组f与D间互感及转子绕组自感均为正值。（3）定子与转子绕组间的互感以为周期正弦变化，其脉动是由于转子旋转而引起的。应特别注意各电感量的变化周期及达到最大值、最小值时的转子位置，并从物理上根据对应的磁路磁阻大小加以解释。由于L矩阵中有大量随转子位置而变化的参数，因此用abc相坐标来分析电机的暂态过程是十分困难的。 功率、力矩及转子运动方程.1
13、 电机输出电功率的瞬时值发电机三相输出瞬时电功率为（1-13)其单位为W。输出总电功率为三相绕组输出电功率之和。1.1.4.2 电磁力矩瞬时值若把同步电机绕组用集中参数的电阻、电感等值，又根据理想电机假定，电机为多绕组的线性电磁系统，可导出按发电机惯例电磁力矩瞬时值表达式为（详见附录II）（1-14)式中，为极对数；为定义与前相同，即为L为式（1-5）中的电感矩阵；为转子旋转的电角度，实际取为d轴领先于a轴的电角度，单位为rad。力矩单位为Nm。将磁链方程（1-4）和式（1-5）以及电感参数表达式（1-6）式（1-12）代入式（1-14），可导出（1-15).3 转子运动方程据牛顿运动定律转子
14、运动方程为（1-16）式中，为原动机加于电机轴的机械力矩；为发电机电磁力矩，由式（1-15）计算，和单位均为Nm；为转子机械角位移，它和电角度（或）的关系为=，单位为rad；为转子机械角速度，与电角速度（或）之关系为=，单位为rads-1；J为转子的转动惯量，单位为kgm2，手册中查到的转子飞轮惯量（GD2）单位一般为tm2，则当为整个转子（包括汽轮机或水轮机的转子）所受到的机械外力矩时，J应取整个转子的转动惯量。稳态时=const.，。转子加速力矩为零，恒速运行。实际分析时一般取电角度及电角速度为变量，则式（1-16）为（及的下标e从略）(1-17)1.1.5 小结式（1-3）、式（1-5）、式（1-15）、式（1-17）构成了abc相坐标下同步电机的有名值方程，其中包括了6个电压微分方程：6个磁链代数方程：和2个转子运动微分方程：上式中由式（1-15）计算，可以消去。以上共计14个方程，为8阶数学模型，其中含有变量为和。若考虑，则实际变量为19个。因此，还需要有19-14=5个约束（或已知）条件方可求解。这5个约束（或已知）条件如下：为励磁系统输出电压，设为已知；为原动机输出机械力矩，设为已知；定子三相绕组与网络接口应有对应的3个网络方程（约束）与之联立求解。因此，总的方程数与变量数平衡，可以求数值解。当计及a，b，c，f，D，Q绕组暂态及转子动态时，发电机abc相坐标下的有
