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1、北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学(理科)第一部分 (选择题 共40分) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1复数的虚部是(A) (B) (C) 1(D) 2一个正四棱锥的所有棱长均为2,其俯视图如右图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为(A) (B) (C) 2(D) 43由曲线与y=x,x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(A) (B) (C) (D) 开始结束,输出S是否4执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填(A) (B) (C) (D) 5盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球,从中随机
2、取出一个记下颜色后放回,当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是(A) (B) (C) (D) 6在ABC中,BAC=90,D是BC中点,AB=4,AC=3,则=(A) (B) (C) (D) 77已知函数的图象如图所示,则函数的图象可能是(A)(B)(C)(D)8已知平面上四个点,设是四边形及其内部的点构成的点的集合,点是四边形对角线的交点,若集合,则集合S所表示的平面区域的面积为(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 (非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分9在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是_ 10已知椭圆上一点M到两个焦点的距离分别是5和3
3、,则该椭圆的离心率为_ 11如图所示,AB是圆的直径,点C在圆上,过点B,C的切线交于点P,AP交圆于D,若AB=2,AC=1,则PC=_,PD=_ 12某地区恩格尔系数与年份的统计数据如下表:年份x2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关,且可得回归方程为,据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为_ 13从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,且每科竞赛只有1人参加,若甲不参加生物竞赛,则不同的选择方案共有 种 14. 在平面直角坐标系中,若点,同时满足:点,都在函数图象上;点,关于原点对称,则称点
4、对(,)是函数的一个“姐妹点对”(规定点对(,)与点对(,)是同一个“姐妹点对”)那么函数 的“姐妹点对”的个数为_;当函数有“姐妹点对”时,的取值范围是_三、解答题共6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15.(本小题共13分)已知函数()求的值;()求函数在区间上的最小值,并求使取得最小值时的x的值16.(本小题共13分)某商场举办促销抽奖活动,奖券上印有数字100,80,60,0凡顾客当天在该商场消费每超过1000元,即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张,商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金(单位:元)设奖券上的数字为,的分布列如下表所示,且的数学期望E=2210080600P
5、0.05ab0.7()求a,b的值; ()若某顾客当天在商场消费2500元,求该顾客获得奖金数不少于160元的概率17.(本小题共14分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF平面ABCD, EF / AB,BAF=90, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P在棱DF上()若P是DF的中点, () 求证:BF / 平面ACP;() 求异面直线BE与CP所成角的余弦值; ()若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度18.(本小题共13分)已知数列an满足,p为常数),成等差数列()求p的值及数列an的通项公式;()设数列bn满足,证明: 19.(本小题共14分) 在平
6、面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上,且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点()求抛物线C的标准方程,及抛物线在P点处的切线方程;()若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M,N两点(M,N位于直线l两侧),当四边形AMBN为菱形时,求直线l的方程20.(本小题共13分)设函数()当时,求函数的最小值;()证明:对x1,x2R+,都有;()若,证明: (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)北京市丰台区2012年高三二模数 学(理科)参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分题号12345678答案DACDBBCB二
7、、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9 10 11, 1231.25 13 96 141,注:第11题第一个空答对得2分,第二个空答对得3分;第14题第一个空答对得3分,第二个空答对得2分 三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15.解:因为= () = 7分()因为 , 所以 当 ,即时,函数有最小值是当时,函数有最小值是 13分16解:()依题意, 所以 因为 , 所以 由 可得 7分()依题意,该顾客在商场消费2500元,可以可以抽奖2次 奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元; 100元和80元; 100元和60元;80元和80
8、元四种情况 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A, 则 答:该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375 13分17()()证明:连接BD,交AC于点O,连接OP 因为P是DF中点,O为矩形ABCD 对角线的交点, 所以OP为三角形BDF中位线,所以BF / OP, 因为BF平面ACP,OP平面ACP, 所以BF / 平面ACP 4分()因为BAF=90,所以AFAB, 因为 平面ABEF平面ABCD,且平面ABEF 平面ABCD= AB, 所以AF平面ABCD, 因为四边形ABCD为矩形,所以以A为坐标原点,AB,AD,AF分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系所以 ,
9、所以 ,所以,即异面直线BE与CP所成角的余弦值为 9分()解:因为AB平面ADF,所以平面APF的法向量为设P点坐标为, 在平面APC中,所以 平面APC的法向量为, 所以 , 解得,或(舍) 此时 14分18解:()因为,所以; 因为,成等差数列,所以2()=+, 即, 所以 依题意,所以当n2时,相加得, 所以 , 所以 当n=1时,成立, 所以 8分()证明:因为 ,所以 因为 ,若 ,则,即 时 又因为 ,所以 13分19解:()依题意设抛物线C:, 因为点P到焦点F的距离为5,所以点P到准线的距离为5 因为P(x0,4),所以由抛物线准线方程可得 ,所以抛物线的标准方程为 4分即
10、,所以 ,点P(4,4),所以 , 所以 点(-4,4)处抛物线切线方程为,即;点(4,4)处抛物线切线方程为,即点处抛物线切线方程为,或 7分()设直线的方程为,联立 ,消y得 , 所以 ,所以 , 即的中点为所以 的垂直平分线方程为因为 四边形AMBN为菱形,所以 ,关于对称, 所以 点坐标为,且在抛物线上, 所以 ,即,所以直线的方程为 14分20解:()时,(),则 令,得当时,在是减函数,当时,在是增函数, 所以 在时取得最小值,即 4分()因为 ,所以 所以当时,函数有最小值x1,x2R+,不妨设,则 8分()(证法一)数学归纳法)当时,由()知命题成立)假设当( kN*)时命题成立,即若,则当时,满足 设,由()得=由假设可得 ,命题成立所以当 时命题成立由),)可知,对一切正整数nN*,命题都成立,所以 若,则 13分(证法二)若,那么由()可