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1、习 题 5.11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）, （2）, （3）, （4）.解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2. 设物体以速度作直线运动，用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S.解：3. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,把分成个小区间，小区间
2、长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记, 则.4. 利用定积分定义计算.解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对 等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = =当（即），由定积分的定义得： =5. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比较 的大小，知，由定积分的估值公式，得,即 .6. 利用定积分的性质说明与，哪个积分值较大？解：在区间内：,由比较定理： 7. 证明：.证明：考虑上的函数，则，令得，当时，当时，.在处取最大值，且在处取最小值. 故，即.8. 求函数在闭区间-1，1上的平均值.解：平均值9. 设在0，1上连续且单调递减，
3、试证对任何有.证明： = = 其中 ,又单调减，则，故原式得证.习 题 5-21设，求. 解：，2设，求.3. 计算下列各导数. （1）； （2）； （3） 解 （1） （2） （3） 4. 计算下列各定积分：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）, （6）, （7）,（8）, （9）, （10）（11）, （12）, (13) . 解：（1）=. （2）=.（3）. （4）=.（5）. （6）.（7）=.(8) =.(9) =.（10）=. （11）.（12）=+=2+2=4.(13) =.5. 求下列极限（1） , （2）.解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得=（2） .
4、6. 求函数极值点.解： 当令，得驻点，和，在，在单调递减；在，在单调递减；在，在单调递减；所以 为极小值点，为极大值点.为极小值点，7. 设，求.解：.8. 设，求，并讨论在上的连续性.解：当时，当时，故,显然，在和上连续，在处 ，又，故在也连续，从而在上连续. 9. 设是连续函数，且，求.解：令，则，从而，即 ， .10.解：原式.11求.解：原式.12求由所决定的隐函数对的导数.解：将两边对求导得 .13. 设为连续可微函数，试求 并用此结果求解 故 .14. 设在内连续且，证明函数在内为单调增加函数.证 因为=，=,所以因为,且当时, ,得,因此，即 ，所以在内为单调增加函数.15.
5、证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则在开区间内至少存在一点，使. 证：因连续，故它的原函数存在，设为，根据牛顿-莱布尼茨公式，有,显然，函数在区间满足微分中值定理的条件，按照微分中值定理，在开区间内至少存在一点，使得故 习 题 5-31. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）=.（2）=2=2.答：（1）不正确，应该为：=（2）不正确，应该为 =2.2. 计算下列定积分:(1) ； (2) ； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； (10)； (11) ；（12）. 解：（1）令=,则,当= 0 时，= 0；当= 4 时，于是=（2）=.(
6、3).(4) .(5)令，时；时，.于是.(6) 令，则，.当时，当时，.原式.(7) 令，.当时，；当时，.原式(8) 因为= 从而 =.(9) 原式.(10) 原式.(11) 原式. .（12）设，于是=.3. 计算下列定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； (5)； (6)； (7)； (8) ； （9）； （10）.解：（1）=.(2) = =1 . (3) =移项合并得 .（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.而 , 故 , （10）.4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）; (2) ； (3); （4）.解：(1) =.(2) 原式.(3) 为奇函数, .（4
7、） 利用定积分的线性性质可得,原式,而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0， 原式,5. 如果，且求,解：由已知条件得 ，即， 即得.6. 证明：. 证明：令 ，则，,7.若在区间上连续,证明(1)=;(2)= ,由此计算 .证明：（1）设.且当时，；当故 .（2）设， = 利用此公式可得：= = =.8. 设在上连续，证明 .证明 .令，则 故 .9. 设是以为周期的连续函数，证明：.证明 .令，则 (以为周期) 故.10. 设在上连续，证明：证明 利用分部积分法，= 11. 计算. 解 令 则 而 所以 .习 题 5-41. 下列解法是否正确？为什么？.答：不正确.因为在，
8、上存在无穷间断点 ， 不能直接应用公式计算，事实上，+,而不存在, 故发散.3. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1） ； （2） ； （3） ； （4）（5）； （6）；（7）； （8）解：（1）=,发散.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）. （7）.（8）令，则，于是 从而 .3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1）; （2） ;（3） ; （4）（收敛的广义积分）.解：（1） =+.=.(2) 令，于是，.(3) .(4) 令，则.4.证明广义积分 当时收敛；当时发散.证明：当，发散；当=.5.已知，求常数.解：左端右端 ,解之或.习 题 5-51、求由下
9、列曲线围成的平面图形的面积：（1）及直线；解：如图，解方程组，得交点，所求面积为.（2）与（两部分均应计算）；解：如图，解方程组，得交点、，所求上半部分面积为.所求下半部分面积为.（3）与直线；解：如图，解方程组，得交点，所求面积为.（4）轴与直线.解：选为积分变量，如图，所求面积为2.求二曲线与所围公共部分的面积解： 当等于0和时，两曲线相交，所围公共部分的面积为.3、求由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积.解：如图，绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为.4 求由曲线和所围成的图形绕轴旋转后所得旋转体体积.解 .5 求由曲线所围图形绕旋转一周所得旋转体
10、体积.解 立体为由曲线，所围成图形绕旋转所得的立体减去由曲线，所围成图形绕旋转所得立体，因此体积为 ,由定积分的几何意义可知 所以 .6. 试求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转所得的旋转体的体积. 解 绕轴旋转时的体积设为,绕轴旋转时的体积设为 则 , . 7 过点抛物线的切线，该切线与上述抛物线及围成一平面图形，求此图形绕旋转所成旋转体的体积. 解： 设所求切线与抛物线相切于点，则所求切线方程为 ，因为切线过点，由解得 ，从而得切线方程为，由此可得旋转体的体积为.8、有一立体，以长半轴、短半轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积.解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为
11、x垂直于轴的截面为等边三角形，对应于的截面的面积为于是所求立体体积为9、计算曲线相对应于到的一段曲线弧长.解：由弧长的公式得:.10、计算相应于自到的一段弧长.解：由弧长的极坐标公式得:.11. 求星形线的全长.解 由星形线的对称性知其弧长 .12在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功解 ，13、设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功.解：由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比，且，其中为常数.选择金属杆拉长的长度为积分变量，其取值范围为，对于任意，在拉长的长度区间上，功元素为，于是. 14.一个底半径为，高为的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为）？解：建立如图坐标系. 取为积分变量, 任取子区间，相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 ,于是，把桶内的水全部吸出，需做功.15、一矩形闸门垂直立于水中，宽为，高为，问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.解：设所求高度为，建立如图坐标系，任取小区间，小区间上压力元素为 于是，由题意得：， 得
