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1、铁路转弯处的外轨超高问题分析摘要：铁路转弯处的外轨超高问题是高中物理圆周运动部分与生活实际紧密联系的重点内容之一。本 文用惯性离心力的概念结合铁路设计的相关参数对这一问题进行定量分析，以便大家对外轨超高问题有较 为全面的认识。关键词：外轨超高 铁路转弯 圆周运动铁路的弯道是高中物理圆周运动部分与生活联系的重点实例。火车的车轮有凸出的轮缘（如图 1）， 且有轮缘的一边在轨道的内侧（如图 2），这种结构有助于固定火车的运动轨迹。火车转弯时做圆周运动 如果内外轨道高度相同，则所需的向心力靠外侧轨道对外车轮的侧压力提供，外轨道就会受到同样大小的 侧压力。侧压力大小与车速的平方成正比，与轨道半径成反比。
2、当火车高速转弯时，不仅会使外轨道磨损 很大，而且行车稳定和安全也得不到保障。因此，在铁路弯道处，常把路基的外侧垫高，使外轨道高于内 轨道，以避免外轨道受到侧压力，称之为轨道超高。下面，用惯性离心力的概念并结合铁路设计的相关参 数对外轨超高问题进行定量分析。一、外轨和内轨等高的情况根据物理学原理，要使物体做圆周运动，必须时时给物体一个与线速度方向垂直并且沿半径指向曲率 中心的向心力。那离心力是什么呢？在分析问题时，我们需要选取不同的参考系，离心力是选取非惯性系 时虚拟出来的一个力。我们选取随车体绕弯道的曲率中心转动的参考系。从这个非惯性系来看，车体是静 外轨和内轨等高（如图3）,则沿水平方向，惯
3、性离心力F与外轨道对外侧车轮的侧压力平衡。设两止的，它在惯性离心力、重力以及轨道的作用力下达到“平衡”。n车轮间距为s,车体重心离轨道平面的高度为h,外轨的侧压力为F，支持力为F，内轨道的侧压力为F,1 N1 2支持力为 F 。则有N2由竖直方向的平衡条件得根据力矩平衡条件，取车轮与外轨的接触点 A 为参考点，有：由此解得，可见外轨的支持力比大込，内轨的支持力比小込常称为增减载量。车速越大，质量越大，重心越高，轨距越小，曲率半径越小，就越大。这样不但外轨磨损大，而且也影响行车安全。二、外轨高于内轨的情况如果将外轨抬高（如图 4），就可以使外轨和内轨不受侧压力，并且两轨道对列车的支持力均等于列血
4、f车重力的一半。外轨比内轨抬高的量用称为轨道曲线的外轨超高度。由力的平衡条件有得：1）通常。角很小,，这里S是内外两个车轮的间距，比轨距（我国一般用1435mm）略大，一般可用00 mm，因此可以得到外轨超高度的计算公式为:mm，+ F辭=mg cos + sin 3垂直于轨道的合力为零，则：R绕中心的力矩平衡，则：可得如果v的单位取km/h，R的单位取m，h的单位取mm，并且取s=1500mm，g=9. 8m s-2则由（2）可得3)这是我国铁路技术管理规程中用以计算外轨高度的公式。通常将车体重力沿轨道平面方向的分力称为超高力，用表示，即4)当车速低于规定速度时，0,内轨将受到侧压力；当车速
5、高于规定速度时,mg sinsin 3丘0,外轨将受到侧压力，其值为由力矩平衡条件可求的内轨、外轨所受垂直压力的增减载量为在机车车辆技术中，通常把绅称为“未平衡的离心力”，把=FT ! m称为“未平衡的加速度”。盘 n = 0.4根据我国大量实验结果，当m s-2时旅客稍感不适，因此,规定冯/mg0. 04(相当于肌- 0 10 0. 4m s-2)o此外，一般规定外轨超高度的最大容许值相当于1： 10的轨道面横向斜度，即用这样，就可以求出在弯道上列车行驶的最大容许速度。由吨話.0.04及小可得,当v的单位取km/h，R的单位取m，g=9. 8m s-27 |，才能运动到最高点。过最高点的最小
6、向心加速度过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即片向-吨+兀，向心加速度的表达式也相同，即。质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最耳一聲=4解g4 g低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。二、可化为这两类模型的圆周运动竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动， 过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环 内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。三、水流星运动中过最高点的速度和
7、水不流出速度的区别水流星是一种杂技表演，表演者在两个碗里装上水，用绳子系住碗，然后在竖直平面内舞动，碗中的 水和碗一起作圆周运动，水不从碗中流出来。水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件是满足轻绳类圆周运动，很多参考书就把这个速度当作是水不流出的最小速度，其实这种理解是不正确的。我们不能把这当作是水不流出的条件，这是因为当碗也不能做圆周运动，当作是水不流出的条件。V有：mg+N=m止 物块能通过最高点的条件是：N20由式得：由式得：H22. 5R按题的需求，N = 5mg，由式得：V由式得例2如图所示光滑管形圆轨道半径为R （管径远小于R）固定，小球a、b大小相同, 质量相同，均为m,
8、其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动两球先后以相同速度v通 过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（ ）hW5R h的取值范围是2. 5RWhW5RA.速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动B.当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力当碗运动到最高点之前就做斜抛运动了，碗中的水也随之作斜抛运动，在斜抛运动中，V水和碗都处于完全失重状态，水也不从碗中流出。所以不能把四、例子讲解例 1（07 年全国 2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨 道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨
9、 道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。 求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围。1解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v,由机械能守恒定律得：mgh = 2mgR + mv2物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力,C.D.，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒，所以 A 错，此时即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力
10、。最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍,B对，C错,最咼点由机械能守恒有，最低点，所以D对。例3 (06重庆)如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质 量分别为m、0 m (0为待定系数)。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，-R与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为耳，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：(1) 待定系数0 ；(2) 第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；(3) 小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B 在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。解：由mgR =mgR pmgR得0 =3设A、B碰撞后的速度分别为=，则设向右为正、向左为负，解得4 、向向左4 、向向右V=，万向向左V2=，万向向右设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N/,方向竖直向上为正、向下为则N0mg=N /=N=4. 5mg，方向竖直向下。设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为VEV2，则解得： V1=1V=02(另一组： V =v ， V =v ，不合题意，舍去)1 1 2 2由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同 当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。
