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1、 学士学位论文（设计） 题 目：与凸函数有关的几个有趣结论 姓 名： xxxx 学 号： xxxxxxx 学 院： xxxx 专业/届别： xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导教师： xxxxxx 职 称： xx 牡丹江师范学院学士学位论文（设计）摘 要 本文讨论了凸函数的有关内容。凸函数与连续函数、可微函数、可积函数之间有着密切联系，具有很强烈的几何背景。讨论了凸函数的一些性质。定义和性质给出后，又讨论了判断函数凸性的方法，在有了严格凸函数的定义及相应的判断函数严格凸的方法后，我们又得到一些严格的不等式。把凸函数定义中的不等式推广为更一般的情况得到了重要的Hadamard不等式
2、及其相关结论。关键词:凸函数；性质；Hadamard不等式AbstractThis article discussed the convex function related content.Between the convex function and the contiouous function,the differentiable function,the integrable function has the close relation,has the very intense geometry background.Discussed convex function some n
3、ature.After the definition and the nature give,also discussed several judgment fuction convexity method.After had the strict convex function definition and the conrresponding judgment function strict raised method,we also abtain some strict inequalities.Obtained the important Hadamard inequality and
4、 the improvement form the convex function definition in inequality promotion for a more common situation .Keywords:Convex function; Hadamard inequality; nature 目录 1 绪论-1 2 凸函数的概念-2 2.1 凸函数的定义-2 2.2 推导过程-2 2.3 引理-3 3 凸函数的性质及其相关结论-5 3.1 性质（1）-5 3.2 性质（2）-5 3.3 性质（3）-5 3.4 性质（4）-5 3.5 性质（5）-6 3.6 与凸函数有
5、关的几个有趣结论-8 参考文献- -12与凸函数有关的几个有趣结论1. 绪论 凸函数是一种性质特殊的函数，自21世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛的应用。例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论当中。本选题对凸函数的定义、性质作出较为详尽的介绍，并利用这些性质证明一些初等不等式，函数不等式和积分不等式。凸函数在最优化理论、数理经济学等领域也有着广泛的应用，现在学者对凸函数的研究工作主要有：中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的一个判别准则，实值函数成为凸函数的一些条件等，对凸函数在不等式的应用研究将有助于我们进一步研究函数的
6、凸性，因此要不断推进其研究工作。 本选题先对凸函数的定义、性质作出较为详尽的介绍，然后利用相关性质证明一些不等式，而这些不等式的证明往往是以构造凸函数为突破，以此研究什么类型的不等式用凸函数的性质比较好证明。2.凸函数的概念2.1凸函数的定义设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x，x和任意实数总有，则称f为I上的凸函数。2.2定义的推导过程（） 在此引入参量表示x设，则得出 （）根据图像分析：弦上的点（y）弧上的点f（x） 故 ，从而有 得弦所在的直线方程为或 即 综上，即得2.3引理f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点，证明：【必要性】 记，则，由f的凸性知道 从而有 整
7、理得 【充分性】 在I上任取两点，在上任取一点，即。由必要性的推导逆过程，可证得，故f为I上凸函数。 同理可证，f为I上凸函数的充要条件是：对于I上任意三点，有 3.凸函数的性质及其相关结论3.1性质（1）设为凸函数， 为常函数，则为凸函数。3.2性质（2）若是凸函数，则仍是凸函数。3.3性质（3）若是长增的凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数。以上三条性质的证明可有定义直接导出，本文从略。3.4性质（4）若是定义在区间I上的凸函数则在区间I上连续。证明：设，取，设 当时可分两种情况进行讨论，以及，。有以及由引理1有，与与得：对于同样也分为两种情况：，及，来讨论由引理（1）得与得：结合与有
8、两边取从而在I上连续。3.5性质（5）若在上连续，且为上的凸函数，则存在着严格的Hadamard不等式。证明：先正右边，即在上是严格的凸函数对于且以及，有记，介于与之间，将其替换成，将式转化为取，则对于均有现将及考虑到中，对式进行积分有即证：得：下证左边，即是上的严格凸函数，则 将考虑到中去，得将两边从0到积分，得=即证：得：证毕。下面利用上述证得的Hadamard不等式来证明几何、对数、算数均值不等式。命题：对于，都有。证明：取函数，则 故是严格的凸函数 取，设，则 由性质（5）Hadamard不等式得 证毕。3.6与凸函数有关的几个有趣结论Th.1 若在上连续，且为上的严格凸函数，则至少存
9、在一点，使得。证明：在上连续，且为上的严格凸函数 严格的Hadamard不等式 在上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理 ，有 对式两边同时积分，得 将式带入到中，即得Th.2 若在上连续，且为上的严格凸函数，则的充要条件是在上有。证明：充分性： 对于 两端从到积分 = =-0 =即得：必要性：在上连续，且为上的严格凸函数有取，取 = =即 即当的时候，有。Th.3 设为区间上的可导函数，则下属论断互相等价： （1）为区间上的凸函数； （2）为区间上的增函数； （3）函数的图像总不位于它任一条切线的下方，即任意对一切有。 证明请参照文献1。 推论 设是上的可微函数，则在上是严格凸函数的充要条件是下面两条件之一成立：（1） 导函数在区间上严格递增；（2） 函数的图像总位于它任一条切线的上方，即任意对一切，且，有。 文献1给出了应用起来更方便的定理。
