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1、-基于分形时间序列的空气质量指数研究以市为例在此处键入文档摘要。摘要通常为文档容的简短概括。在此处键入文档摘要。摘要通常为文档容的简短概括。选取日期摘 要本文介绍了分形的概念并考察了市空气污染指数的分形特征，利用R/S分析这种非参数统计方法确定了市空气污染指数的平均循环周期，在此根底上计算了动态Hurst指数和移动平均Hurst指数，并对其预测效果进展了考察。结果说明，市空气污染指数具有分形构造，具有平均为7天的记忆长度，Hurst指数和移动平均Hurst指数具有一定的预测能力。关键字：分形；空气污染指数；Hurst指数. z-ABSTRACT. z-目录一、引言1二、分形及其描述2一分形2二
2、分形的描述21Hurst指数22分形维3三、空气污染指数序列的分形特征3四、空气污染指数序列的记忆性及其趋势5一重标极差法51形式152形式26二空气污染指数的非周期循环特征71log/log图72V统计量7三动态Hurst指数及其移动平均91动态Hurst指数92移动平均Hurst指数9四利用Hurst指数进展趋势预测及效果评价101预测方法102效果评价10五、结论11参考文献：12. z-基于分形时间序列的空气环境研究以市为例一、引言随着人们生活水平的提高，人们越来越关心空气环境质量状况。空气环境质量随时间的动态变化是污染源排放情况、气象条件和下垫面性质等许多因素综合的结果。人们用空气污
3、染指数 2021年上半年出台规定，用空气质量指数AQI替代原有的空气污染指数API。API与AQI在指标的描述、监测方法、评价体系、行使功能等方面都几乎完全一致，所以本文没有进展区分。来反映这一结果。空气污染指数Air pollution inde*，简称API就是根据环境空气质量标准和各项污染物对人体安康、生态、环境的影响，将常规监测的几种空气污染物浓度简化成为单一的概念性指数值形式。参考空气污染指数，能清楚地判断目前的空气质量情况，从而合理安排各项活动。空气质量的研究有很多，预测是空气质量研究中的一个重要领域。Euro Cogliani(2001)研究米兰空气污染指数发现，在1到3月该指数
4、与风速的相关性到达了0.85。柴微涛2007等利用时间序列模型研究了市20012005年空气污染指数的变动规律。陆杰等2007运用R/S分析方法对市3个大气环境定位监测点近10年的SO2、NO*和TSP序列数据进展了时间序列的长程相关性分析，结果说明它们的月均值序列表现出明显的长程相关性。覃登攀2021利用遗传算法和人工神经网络相结合对市区2001-2006年空气污染物浓度数据进展了分析，结果说明人工神经网络模型有较高的预测能力。元琴等2021利用与空气污染密切相关的污染气象条件指数PLAM方法，提前13天预报气象条件对夏季空气质量的影响。Neto.J等2021使用多元回归、分类、回归树的方法
5、预测里斯本北部城市圈的臭氧日平均浓度。侯雅文等2021利用2021年18月API数据建立了ARMA(1,1)模型，并且通过2021年9月API数据检验了该模型的有效性。已有研究大多采用的是线性分析方法，空气环境是一个非常复杂的非线性动力学系统，. z-所以用非线性的分析方法可能会更合理。非线性分析方法有很多，分形分析是较流行的一种。分形作为一种非线性式，可能能更好地描述空气污染指数序列的特征，并能用于该指数的预测。二、分形及其描述一分形分形Fractal最早由Benoit Mandlbort提出，用来描述那种不规则的、支离破碎的、琐碎的几何特征。比拟常见的是欧几里得几何，比方一维的线，二维的面
6、，三维的体。这些欧氏几何的维数都是整数维。经典的欧几里得几何是光滑且对称的，它们没有洞和隙，处处可微。从远到近观察欧氏几何，会发现它的构造会越来越简单体变成面，面变成线，线变成点。然而，欧氏几何只是人类的简化和梦想，自然界几乎找不出这么完美的东西。山不是锥，云不是球，Mandelbort如是说。为了更加合理地描述现实，分形诞生了。相对于欧氏几何的整形特征，分形可以不光滑、不对称和不连续，它能更好地描述我们观察到的世界。关于分形，目前还没有一个准确的定义。在资本市场的混沌与秩序中，Peters给出了一个定义：分形是一个生成规则信息处理器的吸引子极限集，而信息则是随机生成的，它的较小局部与整体相关
7、，它有一个分形维数。根据Peters的定义，可以知道分形的一些特征：分形集无法用传统的欧氏几何语言来描述，它的维数是分数，一般小于它相应的拓扑维数。分形集是整体确定，局部随机的。在有限的空间里，它可以包含无限的构造，即分形集都有任意小尺度的比例细节，具有精细的构造。分形集具有*种自相似性，这种相似可以是近似的自相似或者是统计意义上的自相似。也就是说，不同标度的分形几何或者时间序列是相似的。分形集具有长期相关性或者说具有长期记忆性。它们不一定遵循随机游走模型，它们的概率分布也不定是正态分布，可能另有不同的形状。二分形的描述 虽然分形目前还没有一个非常准确的定义，但是可以用Hurst指数和分形维来
8、描述分形集的不规则性。本文的研究对象是空气污染指数，所以本文更关心分形时间序列。1Hurst指数 Hurst指数是由英国水文专家H.E.Hurst在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时提出来的，他发现有偏的随机游走分形布朗运动能更好地描述水库的长期贮存能力，并在此根底上提出了重标极差法R/S来计算Hurst指数，用来判断时间序列数据遵循随机游走还是有偏的随机游走，并能用它来判断时间序列的趋势。分形布朗运动用来描述时间序列的分形构造，它是对布朗运动模型的推广。分形布朗运动的数学表达形式为：其中，为常数，为布朗运动，即为Hurst指数。可以看到，Hurst指数有三种形式：如果H=0.5，说明时间
9、序列可以用随机游走模型来描述。它下一刻既可以向上，也可以向下，无法判断时间序列未来的方向。如果0.5H1，则说明该时间序列是黑噪声或持续性序列，即暗示该序列具有长期记忆，未来的增量与过去增量正相关。如果前段时间序列是趋势向上的，则未来序列向上的可能性较大；如果前段时间序列是趋势向下的，则未来序列向下的可能性较大。H越接近1，这种持续性就越强烈。如果0H0.5，则说明时间序列是粉红噪声或反持续性的，未来的增量与过去的增量负相关。如果前段时间序列是趋势向上的，则未来序列反转的可能性较大；如果前段时间序列是趋势向下的，则未来序列反弹的可能性较大。H越接近0，这种反持续性越强烈。2分形维 分形维Fra
10、ctal Dimension是用来描述时间序列是如何参差不齐的，它可以通过下面的公式计算获得： D=2-H其中H指Hurst指数。一条线的维度是1，一个面的维度是2，分形维介于两者之间。和Hurst指数相对应，当D=1.5时，时间序列遵从随机游走模型。当1D1.5时，时间序列更接近一条曲线，这样的时间序列比随机游走更光滑，更具有趋势性；D越接近1，这种光滑度越高。当1.5D2时，时间序列更接近一个平面。它比随机游走序列更参差不齐，存在更多的逆转；D越接近2，这种参差不齐性越强。三、空气污染指数序列的分形特征 本文采用市空气污染指数作为样本数据，样本区间为2000-6-52013-1-14，数据
11、来源于国家环保部数据中心。图1显示的是市空气污染指数每日数据、每周数据、每月数据以及每季度数据。其中周数据是指此周日数据的平均值，月数据是指此月日数据的平均值，季度数据是指此季度日数据的平均值。从图1可以看出，空气污染指数序列变化既不是一条直线，也不是一个面，它并不符合标准的欧几里得几何特征。所以它的维度应该在1和2之间。从图1也可以看出，空气污染指数显示出整体较为确定，局部较为随机的性质。四个观测标度中，季度数据显示出更平滑的特征，而日数据更加粗糙。这和在不同高度看海岸线的形状一样，观察距离越近，海岸线越不规则。 图1不同时间标度的空气污染指数Figure1The air pollution
12、 inde* of difference period 图2和图3显示的是不同观察时间标度空气质量变化率的直方图和核密度图。无论是直方图还是核密度图，日变化率、周变化率、月变化率以及季度变化率的分布特征都很相似。这说明空气污染指数序列显示出自相似的分形特征。Figure2.图2空气污染指数不同标度变化率直方图 Figure3图3空气污染指数不同标度变化率核密度图四、空气污染指数序列的记忆性及其趋势 从上面的分析可以看到，空气污染指数序列具有分形构造。具有分形构造的时间序列具有记忆性，过去的变化能够影响未来。利用重标极差法可以确定这种记忆的长度，还可以用来计算Hurst指数从而预测序列的变化趋势
13、。一重标极差法重标极差法Rescaled Range Analysis，又称R/S分析，它是一种非参数统计方法，通过改变时间尺度来研究时间序列统计规律的变化特征。它最早由Hurst研究尼罗河水文资料时提出，后经过Mandelbort等进一步补充和完善。R/S法反映的是时间序列统计特征量的标度不变性，为获知不同观测下的时间序列情况提供了一种研究方法。通过R/S法，可以确定循环的平均周期，从而提醒时间序列的记忆长度。可以用它来计算Hurst指数，从而分析时间序列的分形特征，对时间序列的趋势变化进展预测。目前，R/S分析方法已经在资本市场、地理环境、气候及交通等方面得到了广泛的应用。一般来说，R/S
14、法有两种形式。1形式1假设一段时间序列总长度为M。把这个时间序列取对数并进展一阶差分得到时间序列Ni：i=1,2,3，M-1把这个长度为N的时间序列均分为A个长度为n的小区间，即A*n=N。记每一个小区间为Ia，a=1,2,3，A。在小区间Ia中，每一个元素记为Nka，k=1,2,3,n。故长度为n的小区间Ia的平均值为：a=1,2,3，A计算每一个小区间中每个元素的累计离差和：k=1，2，3，n每一个小区间的极差定义为该区间的最大累计离差减去最小累计离差：1kn对每一个小区间，计算其样本标准差：a=1,2,3，A对于每一个小区间，用第4步得到的极差除以第5步得到的标准差，就得到了没有单位的重标极差。由于有A个这样的重标极差，计算这A个重标极差的平均值：Hurst通过对水文数据的实践总结，得出了如下经历关系：其中b为常数，H为Hurst指数。对上式取对数，即可得到下面的等式： 同一段长度为N的时间序列可以分成不同长度的小区间，每一次分法都
