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1、第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同方法2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的试一试1从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不
2、同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30B20C10 D6解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N336种2从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()A30个 B42个C36个 D35个解析：选Cabi为虚数，b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数1应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联
3、系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏2混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏练一练1(2013郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有54321120(种)安排这8人的方式有241202 880(种)答案：2 8801234
4、567892(2014湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种解析：把区域分为三部分，第一部分1、5、9，有3种涂法第二部分4、7、8，当5、7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共426种涂法第三部分与第二部分一样，共6种涂法由分步乘法计数原理，可得共有366108种涂法答案：108考点一分类加法计数原理1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字
5、的两位数共有()A50个B45个C36个 D35个解析：选C利用分类加法计数原理：8765432136(个)2五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A30种 B31种C35种 D40种解析：选B分类：第一类，两人拿对：2C20种；第二类，三人拿对：C10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种故共有2010131种3(2013三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A8种 B9种C10种 D11种解析：选B设四位监考教
6、师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3339(种) 类题通法利用分类加法计数原理解题时应注意(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复考点二分步乘法计数原理典例(2014本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥 PABC 与正三棱柱 ABCA1B1C1 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染
7、色方案共有_种解析先涂三棱锥 PABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有CCCC321212种不同的涂法答案12 类题通法利用分步乘法计数原理解决问题时应注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定针对训练在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种C96种 D144种解析：选C第一步安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，
8、C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法； 第三步安排剩余的3个程序，有A种排法，共有242A96种考点三两个原理的综合应用典例(2014黄冈质检)设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()A50种 B49种C48种 D47种解析从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是2，故此时有10220种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C
9、5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是3，故此时有5315种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有144种选择方法根据分类加法计数原理，总计为102015449种选择方法故选B.答案B本例中条件若变为“A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现从中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合”，则可以组成多少个集合？解：(1)选集合A，B，有CC12；(2)选集合A，C，有CC8；(3)选集合B，C，有CC6；故可以组成128626个集合类题通法在解决综合问题时
10、，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系针对训练上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有CC种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C种情况，由分类加法计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC16(种)答案：16 课堂练通考点1已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为
11、()A40B16C13 D10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面2.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()A6,8 B6,6C5,2 D6,2解析：选A从甲地经乙地到丙地，分两步：第1步，从甲地到乙地，有3条公路；第2步，从乙地到丙地，有2条公路根据分步乘法计数原理，有326种走法从甲地到丙地，分两类：第1类，从甲地
12、经乙地到丙地，有6种走法；第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法根据分类加法计数原理，有628种走法3.(2014临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90仍为L型图案)，那么在由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是()A16 B32C48 D64解析：选C每四个小方格(22型)中有“L”型图案4个，共有22型小方格12个，所以共有“L”型图案41248(个)4(2013济南模拟)集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样
13、的点的个数是()A9 B14C15 D21解析：选B当x2时，xy，点的个数为177(个)；当x2时，xy，点的个数为717(个)，则共有14个点，故选B.5.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？解：先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着色，有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有432248种方法课下提升考能第组：全员必做题1(2014福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要
14、去，则不同的分配方案有()A16种 B18种C37种 D48种解析：选C三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有433337种2如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60 B48C36 D24解析：选B长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6636个，6个对角面构成的“平行线面组”有6212(个)故共有361248(个)3有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()A1 260种 B2 025种C2 520种 D5 0
