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1、成实外教育数学培优九年级李老师 10月17日上午 学生姓名：第五讲：相似三角形证明的方法与技巧A字形，斜A形，8字形（X型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形双垂直结论:射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACDCDBAD:CD=CD:BDCD2=ADBDACDABCAC:AB=AD:ACAC2=ADABCDBABCBC:AC=BD:BCBC2=BDAB结论：得AC2:BC2=AD:BD；结论：面积法得ABCD=ACBC比例式证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形 三点
2、定形法2、间接法： 3种代换 等线段代换； 等比代换； 等积代换；创造条件 添加平行线创造“A”字型、“8”字型 先证其它三角形相似创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。彼相似，我角等，两边成比边代换。（3）等比代换：若是四条线段，欲证，可先证得（是两条线段）然后证，这里把叫做中间比。方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似1ABC=ADE求证：ABAE=ACAD2.ABC中，AB=AC，DEF是等边三角形，求证：BDCN=B
3、MCE3.等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BPPC=BMCN 方法二：有射影，或平行，等比传递我看行1.在RtABC中，BAC=90，ADBC于D，E为AC的中点，求证：ABAF=ACDF（换比法）斜边上作高线，比例中项一大片2.如图，在ABCD中，求证：（换比法）3.梯形ABCD中，AD/BC，作BE/CD,求证：OC2=OA.OE（换比法） 方法三：四共线，看条件，其中一条可转换；1.RtABC中，四边形DEFG为正方形。求证：EF=BEFC（换项法）2.ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，求证：BP=PEPF（换项法
4、） 3.AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.求证： DE=BECE. 方法四：两共线，上下比，过端平行条件边。1.AD是ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.2.在ABC中，AB=AC，求证：DF:FE=BD:CE.3.在ABC中，ABAC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.4.在ABC中，BF交AD于E.(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC；(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED. 5.在ABC中，D、E分别为BC的三等分点，A
5、C边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长. 6.ABC中，AC=BC，F为底边AB 上的一点，（m、n0），取CF的中点D， 连结AD并延长交BC于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。方法五：彼相似，我条件，创造边角再相似1.AEADAB，且ABEBCE，求证：2.已知，求证：3（2012金牛区三模）如图，在ABC中，ACB=90，BC=nAC，CDAB于D，点P为AB边上一动点，PEAC，PFBC，垂足分别为E、F（1）若n=2，则=；（2）当n=3时，连EF、DF，求的值；（3）当n=时，=（直接写出结果，不需证明）1
