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1、第九章真空中的静电场选择题B 1图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+ （xv 0）和一（x 0），贝U Oxy坐标平面上点（0, a）处的场强E为(B)i oa(C)i -(D)i j4 oa4oa【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在（0, a）处产生的场强大小 E+、E-大小为:1.2 2 oa，方向如图。矢量叠加后，合场强大小为:E合，方向如图。2 oa:B 2半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为:【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆 柱面（半径为r,高度为L）为高斯面，据Guass 定理：_
2、_ qiEdS=S0R时，有:E2 rL=即:E二一R时,有:E2rL=，即:R2EN rC 3如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abed的电场强度通量等于:(A)(B)12 o(C)24 o(D)48 o【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通量为 q。再据对称性可知，通过侧面0abed的电场强度通量等于q24 0:D 4在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ，贝U M点的电势为f A q(B)q(A)40a80a(C)q(D)q(
3、D)40a80a【提示】：Vmp -aEdl2a4q80aC 5已知某电场的电场线分布情况如图所示.现观察 到一负电荷从 M点移到N点有人根据这个图作出下列几点结论, 其中哪点是正确的？(A)电场强度 Emv En.(B)电势Um v Un.(C)电势能 Wmv Wn .(D)电场力的功 A0.【提示】：静电力做负功，电势能增加。二.填空题1已知空气的击穿场强为 30 kV/cm，空气中一带电球壳直径为 势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5 106V.【提示】：球壳电势为：V40 R1 m,以无限远处为电球壳表面处的场强为:R22在点电荷+ q和一q的静电场中，作出如图所示的三个 闭合面S
4、i、S2 S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是：【提示】：直接由高斯定理得到。+ +2IIIIABC3半径为R的半球面置于场强为 E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所 示则通过该半球面的电场强度通量为R2E .【提示】：E SEdS RP4两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为+ 和+ 2 ，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：33Ea=, Eb=, Ec=(设方向向右为正).2 0 2 0 2 0q3【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生 场强的矢量叠加。5电荷分别为qi, q2, q3的三个点电荷分别位于同一
5、圆周 的三个点上，如图所示.圆半径为R,贝U b点处的电势 U =1 _-c. 2qi q22q3)0 R【提示】：设无穷远处为电势零点， 则点电荷在空间任一点产生的电势为： V, rP为点电荷q到场点P的距离。题中b点的电势为q、q2、q340rP在该点独自产生电势的代数和。6真空中电荷分别为 qi和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用电势能 W=鱼坠.（设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零）4 r【提示】：电荷系统的相互作用电势能，即建立该电荷系统，外力所作的功。固定 将q2从无限远处移到指定位置处，外力克服电场力所作的功为：q2(40)4 r三.计算题1将一 “无限长
6、”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强.y00【解】：在O点建立坐标系如图所示。 半无限长直线 Ao在O点产生的场强:巳4半无限长直线Bo在O点产生的场强：oRE24 oR四分之一圆弧段在 o点产生的场强:oRE3由场强叠加原理，O点合场强为:EiE2E34 oR i j2真空中一立方体形的高斯面 布为：Ex=bx , Ey=0 , Ez=0.，边长a = 0.1 m,位于图中所示位置.已知空间的场强分 常量b= 1000 N/(C m).试求通过该高斯面的电通量.A12E1yE22a【解】：通过x= a处平面1的电场强度通量1 =
7、 - E1 S1= - b a通过x = 2a处平面2的电场强度通量2 = E2 S? = b a3其它平面的电场强度通量都为零.因而通过该高斯面的总电场强度通量为 =1+ 2 = b a3- b a3 = b a3 =1 N m2/C3带电细线弯成半径为 R的半圆形，电荷线密度为=0Sin，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示.试求环心O处的电场强度.【解】：在 处取电荷元，其电荷为dq = dl = oRsin d它在0点产生的场强为 在x、y轴上的二个分量对各分量分别求和：dq oSin dd E24 0R24 oRdEx= dEcos dEy= dEs in- sin
8、cos d4 -R 0Ey0 2sin d4R 0087REExiEyj087Rj4如图所示，在电矩为 p的电偶极子的电场中，将一电荷为 q的点电荷从A点沿半径 为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合， R电偶极子正负电荷之间距离 ）移到B点，求此过 程中电场力所作的功.【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势U p r/40r3式中r为从电偶极子中心到场点的矢径. 于是知：A、B两点电势分别为Ua p/40R2Ub p/40R2P pqp/2 0R2q从A移到B电场力作功（与路径无关）为A qUA Ub5图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为Ri，外表面半径为R
9、2 .设无穷远处为电势零点，求空腔内任 一点的电势.【解】：由高斯定理可知空腔内E= 0,故带电球层的 空腔是等势区，各点电势均为U。在球层内取半径为rtr + dr的薄球层.dq =4 r2dr该薄层电荷在球心处产生的电势为dU dq/ 4 or r dr/整个带电球层在球心处产生的电势为R2Uo dU0r d r00 o R12 o其电荷为RORR； R2因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为R； R12U Uo若根据电势定义U E dl计算，也可。6图中所示为一沿x轴放置的长度为 o为一常量.取无穷远处为电势零点，求坐标原点l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为 O处的电势.0 (x-
10、a),a1 1【解】：在任意位置x处取长度元 它在O点产生的电势dx,其上带有电荷 dq=o (x a)dx,O点总电势dUdUa ldxaox1 dxx7 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O，两球心间距离OO d ,如图所示.求:在球形空腔内，球心 O处的电场强度 Eo.在球体内P点处的电场强度 E .设O、O、P三点在同一直径上，且OP d。【解】：挖去电荷体密度为 的小球, 而另在挖去处放上电荷体密度为- 场强为此二者的叠加，即可得：以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场 E1, 的同样大小的球体，求出电场E2，并
11、令任意点的EoE1在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面1E2：S E1 dS E14 dS,可求出O与P处场强的大小。33有:Eio = Eip= E1方向分别如图所示。图E20 =0图(d)图(c)P点场强E2PE2=0.又以O为心，2d为半径作球在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在 O点 面为高斯面S可求得E2 d S E2E2P(2d)23r12 0d2r3()/3 0(1)求O点的场强Eo，.由图(a)、(b)可得dEo = E10 =3 0方向如图(c)所示。求P点的场强Ep.由图(a)、(b)可得EPE1PE2P3r4d2方向如(d)图所示.8两个带等量异号电荷
12、的均匀带电同心球面，知两者的电势差为 450 V，求内球面上所带的电荷.半径分别为 R1= 0.03 m和R2= 0.10 m.已【解】：设内球上所带电荷为 Q,则两球间的电场强度的大小为两球的电势差U12Q4 or2(Ri v r v R2 =R2EdrRir2 drRir2Q 1140 RiR2Q-oRR12 = 2.14 x 10-9 cR2R9在一个平面上各点的电势满足下式:axbU 22- , x和y为这点的(x2 y2) (x2 y2)2直角坐标，a和b为常数。求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量。【解】：根据EU，知:dUdxa(x2 y2) bx(x2 y2)22r?2(x y )EydU y2ax b(x2y2) 2石 (x2 y2)2选做题:如图所示，半径为 R的均匀带电球面，带有电荷 q.沿某一半径方向上有一均匀带电细 线，电荷线密度为，长度为I，细线左端离球心距离为 ro.设球和线上的电荷分布不受相互 作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零).【解】：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx,其上电荷为dq d x，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：dF = q dx / (40 x2)整个细线所受电场力为:f qro 1 d xq i, 24 0r。x4oro ro 1
