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1、圆与方程1. 圆的标准方程：以点 C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是2 2 2 (x a) (y b) r .特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： x2 y2 r 2.c. 点在圆外d r 圆外一点 B ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值PAminminANrACPAmaxAMrAC2. 点与圆的位置关系：(1) . 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：a. 点在圆内dr ； b. 点在圆上 d=r ；(2). 给定点 M (x0,y0)及圆 C:(x a)2 (y b)2 r2 . M 在圆 C内 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆C上(x0a)2(
2、y0b)2r2 M 在圆C外 (x0a)2(y0b)2r23)涉及最值：P ，讨论 PB 的最值PB min BN BC r minPB max BM BC rmax思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直 AC )3. 圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 .(1) 当 D 2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心E2 ，半径 rD 2 E 2 4F2(2) 当 D2 E2 4F 0时，方程表示一个点D , E .22(3) 当 D2 E2 4F 0时，方程不表示任何图形 .注：方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是： B 0且 A C 0且 D 2
3、 E 2 4AF 0 .4. 直线与圆的位置关系：直线 Ax By C 0与圆 (x a)2 (y b)2 r 2圆心到直线的距离 d Aa Bb C22A2 B21) d r 直线与圆相离 无交点 ；2) d r 直线与圆相切 只有一个交点 ；3) d r 直线与圆相交有两个交点 ；弦长 |AB| =2 r 2 d2Ax By C 0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解 22x2 y2 Dx Ey F 0的个数来判断：( 1)当0 时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相交；(2) 当0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切；(3) 当0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离
4、；5. 两圆的位置关系(1)设两圆 C1:(x a1)2 (y b1)2 r12与圆 C2:(x a2)2 (y b2)2 r22，圆心距 d(a1 a2)2 (b1 b2)2 d r1 r2 外离4 条公切线 ； dr1r2外切3条公切线 ；r1r2dr1 r2相交 2条公切线； d r1 r2 内切 1条公切线 ；外离2）两圆公共弦所在直线方程圆 C1 ： x2 y2 D1x E1y F1 0 ，圆 C2 ： x2 y2 D2x E2y F2 0 ，则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F20 为两相交圆公共弦方程补充说明： 若C1与 C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与 C
5、2相离，则表示连心线的中垂线方程（3）圆系问题过两圆 C1： x2 y2 D1x E1y F1 0和C2： x2 y2 D2x E2y F2 0交点的圆系 方程为 x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20 （1）补充： 上述圆系不包括 C2 ； 2）当1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过直线 Ax By C0与圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交点的圆系方程为 22x2 y2 Dx Ey F Ax By C 06. 过一点作圆的切线的方程：（1） 过圆外一点的切线 ：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y1 y0 k(x1 x0 )
6、 b y1 k(a x1)RR2 1求解 k，得到切线方程【一定两解】例 1. 经过点 P(1 ， 2)点作圆 ( x+1) 2+( y2) 2=4的切线，则切线方程为(2) 过圆上一点的切线则过此点的切线方程为2 2 2方程：圆 ( xa) 2+( yb) 2=r 2，圆上一点为 ( x0，y0) ，( x0a)( xa)+(y0b)( yb)= r特别地，过圆 x2 y2 r 2上一点 P(x0,y0)的切线方程为 x0x y0y r2 .22例 2.经过点 P(4，8)点作圆 ( x+7) 2+( y+8) 2=9的切线， 则切线方程为7切点弦(1) 过 C：(x a)2 (y b)2
7、r 2 外一点 P( x0 , y0 ) 作 C的两条切线， 切点分别为 A、B ， 则切点弦 AB 所在直线方程为： (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r 28. 切线长：若 圆 的 方 程 为 (x a)2(y b)2=r2， 则 过 圆 外 一 点 P(x0,y0) 的 切 线 长 为d= (x0 a) + (y0 b) r 9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆 C1：x2 +y2 2x =0 和圆C2：x2
8、 +y2 +4 y =0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为 A、 B，试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。一、求圆的方程例 1 (06 重庆卷文 ) 以点 (2, 1) 为圆心且与直线 3x 4y 5 0 相切的圆的方程为 (2 2 2 2(A) (x 2)2(y 1)23 (B) (x2)2(y 1)232 2 2 2(C)(x 2)2 (y 1)2 9 (D) (x 2)2 (y 1)2 9a 的取值范二、位置关系问题例 2 (06 安徽卷文 ) 直线 x y 1与圆 x2 y2 2ay 0(a 0) 没有公共点，则围是 ( )(A) (0, 2 1)(B) ( 2 1,
9、2 1)(C) ( 2 1, 2 1)(D) (0, 2 1)三、切线问题2 2 5例 3 (06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆 x2 y2 4x 2y 0 相切的直线方程为21(A) y 3x 或 y x31(C) y 3x 或 y x31(B) y 3x 或 y x31(D) y 3x 或 y x3四、弦长问题例 4 (06 天津卷理 ) 设直线 ax22y 3 0与圆(x 1)2 (y 2)2 4相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 2 3 ，则 a五、夹角问题例5 (06 全国卷一文) 从圆 x222x y2 2y 1 0外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余
10、弦值为 (13(A) (B)253(C)2(D) 0六、圆心角问题例 6 (06 全国卷二过点(1, 2)的直线 l将圆 (x 2)2 y2 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率七、最值问题22例 7 （06 湖南卷文 ） 圆 x2 y2 4x 4y 10 0上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与 最小距离的差是 （ ）（A） 30 （B） 18 （C） 6 2 （D） 5 2八、综合问题例 8 （06 湖南卷理 ） 若圆 x2 y2 4x 4y 10 0 上至少有三个不同的点到直线l :ax by 0 的距离为 2 2 ，则直线 l 的斜率 k 取值范围 圆的方程1
11、.方程 x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则 t 的取值范围是1A. 1t711B.1t C. t1 D .1t0）表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形，则（ ） A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=04. （20XX 年全国， 8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线 共有（ ）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条5. （20XX 年黄冈市调研题）圆 x2+y2+x6y+3=0 上两点 P、 Q 关于直线 kx y+4=0 对称，则k=.6. （ 20X
12、X 年全国卷， 16）设 P为圆 x2+y2=1 上的动点，则点 P到直线 3x4y10=0的 距离的最小 值为 .7. 已知实数 x、 y满足方程 x2+y24x+1=0.求（1） y 的最大值和最小值； （ 2）y x的最小值；x3 ） x2+y2 的最大值和最小值经过两已知圆的交点的圆系2 2 22例1求经过两已知圆： x2y24x 6 0和 x2y24y 6 0 的交点且圆心的横坐标为 3的圆的方程。例 2 设圆方程为：( 4)x2 (4)y2 (2 4)x (12 40)y 48 164 0 其中 4求证： 不论 为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系22 例1：求由下列条
13、件所决定圆 x2 y2 4 的圆的切线方程；(1) 经过点 P( 3,1) ， (2) 经过点 Q(3,0) ， (3) 斜率为 1直线和圆1自 点（3， 3）发 出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射 ，其反射线 所在直线与 圆 22x y 4x 4y 7 0 相切，求光线 L 所在直线方程222. 求 圆 心 在 直 线 x y 0 上 ， 且 过 两 圆 x2 y2 2x 10y 24 0 22x2 y2 2x 2y 8 0 交点的圆的方程3. （2002 北京文，16）圆 x2y22x2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80距离的最小值为弦长【例题】 已知直线 lx+2y-2=0 与圆 Cx2+y2=2 相交于 A、B 两点，求弦长 AB.
